Analysis of Implied Volatility Surfaces
Analyse von Impliziten Volatilitätsflächen
von Marina Schnellen
Datum der mündl. Prüfung:2007-05-04
Erschienen:2007-05-30
Betreuer:Prof. Dr. Axel Munk
Gutachter:Prof. Dr. Martin Schlather
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Name:schnellen.pdf
Size:6.56Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
The volatility of financial assets is an important parameter in risk managemant, portfolio trading and option pricing. Implied volatility (IV) is obtained from the well known Black-Scholes (BS) formula for option pricing, when the option price is known. Albeit its defectiveness the BS model has kept popularity and resulting IV has become a state variable that is interesting by itself, reflecting current market situations. IVs form a highly correlated multivariate system and cannot evolve independently for different strike and maturity values. Therefore the IV surface should be analysed as a whole by simultaneous examination of several slices that form the surface. It is common to display IVs as a function of option maturity $\tau$ and moneyness $\kappa$, which is the strike price devided by the the future asset price. To examine variation of IVs across moneyness and maturity dimension and in time, the IV log returns are used, i.e. the log differences $IV_{t}(\kappa,\tau)-IV_{t-1}(\kappa,\tau)$ for time points $t$ and $t-1$. Time dependent variation of the data is usually analysed using principal components. It turns out that main modes of variation is due to up-and-down shifts of the whole surface in the first place, and further, in the second place, it is due to a changing slope of the surface in moneyness and in maturity dimension and, in the third place, due to curvature changes. In this work we analyse a further aspect of variation of IV log returns, namely the variation that appears within the log return surface. We are interested in how the daily changes of IV smiles vary for different option maturities. To this end we apply a new method that extends the heteroscedastic variance model to a model with a functional variance process (FVP), introduced by Müller, Stadtmüller and Yao (2006). By including random components for variation we can model locally changing variances of data structures of increasing complexity. The method combines methods from nonparametrical estimation (local polynomial smoothing) and principal component analysis. Our empirical findings are based on a data set of daily IV surfaces on stock, index and swap options. Swap IVs are an exception being observed in direction of swap maturity and option maturity instead of moneyness and option maturity in case of stock and index IVs. Due to structural differences between data for options with short and long maturity we decided to perform the analysis independently for corresponding data sets. The resulting FVPs, determined at fixed points in time, are maximal in regions where options are in-the-money, i.e. where moneyness is less or equal to one, and decrease for increasing moneyness. In case of swap IV the variance process is maximal for swap maturities in between three and five years. For daily changes of IVs this means that changes vary most from one option maturity to another where moneyness / swap maturity is in the mentioned regions. Moreover, we determine FVPs at different points in time to get an impression of the time dependent development of these processes and thus of time dependent changes of daily variation of the IV surface. The shape of a FVP remains in time, meaning that our findings at fixed days are valid in general.
Keywords: implied volatility; implied volatility surface; log returns; principal component analysis; local polynomial smoothing; functional variance process
Weitere Sprachen
Die Volatilität von Finanzobjekten ist ein
bedeutender Parameter im Risiko Management, beim Handel mit
Portfolios und bei der Optionsbewertung. Implizite Volatilität (IV)
erhält man aus der bekannten Black-Scholes (BS) Formel zur
Optionsbewertung bei bekanntem Optionspreis. Ungeachtet seiner
Fehlerhaftigkeit hat das BS Modell seine Popularität behalten und
die resultierende IV ist eine Zustandsgröße von eigenem Interesse,
die aktuelle Marktsituationen widerspiegelt. IVs bilden ein
hochgradig korreliertes multivariates System und können für
verschiedene Ausübungspreise und Restlaufzeiten nicht unabhängig
entstehen. Daher sollte die IV Fläche als ein Ganzes analysiert
werden indem verschiedene Querschnitte der Fläche (Kurven) simultan
untersucht werden. Es ist üblich IVs als Funktionen von
Restlaufzeit $\tau$ und Moneyness $\kappa$ der Option darzustellen,
wobei Moneyness der Ausübungspreis geteilt durch den Future Preis
ist. Um die Variation von IVs in Richtung von Moneyness und
Restlaufzeit und in der Zeit zu untersuchen werden IV log returns
benutzt, d.h. die log-Differenzen
$IV_{t}(\kappa,\tau)-IV_{t-1}(\kappa,\tau)$ für Zeitpunkte $t$ und
$t-1$. Die zeitabhängige Variation der Daten wird im allgemeinen
mit Hilfe ihrer Hauptkomponenten analysiert. Es stellt sich heraus,
dass die wesentlichen Arten der Variation an erster Stelle auf
Verschiebungen der gesamten Fläche nach oben und unten
zurückzuführen sind, an zweiter Stelle auf sich ändernde Steigung
der Fläche in Moneyness- und in Restlaufzeitrichtung und an dritter
Stelle auf Krümmungsänderungen. In dieser Arbeit analysieren wir
einen weiteren Aspekt der IV log returns, nämlich die Variation,
die innerhalb der log return Fläche auftritt. Wir interessieren uns
dafür, wie die täglichen Änderungen der IV Smiles für verschiedene
Optionsrestlaufzeiten variieren. Hierzu wenden wir eine neue
Methode an, die das heteroskedastische Varianzmodell ausweitet auf
ein Modell mit funktionalem Varianzprozess (FVP), eingeführt von
Müller, Stadtmüller und Yao (2006). Indem zufällige Komponenten für
die Variation berücksichtigt werden, können wir lokal sich ändernde
Varianzen von Datenstrukturen mit steigender Komplexität
modellieren. Die Methode kombiniert Methoden des
nichtparametrischen Schätzens (lokale Polynomschätzer) und aus der
Hauptkomponentenanalyse. Unsere empirischen Ergebnisse basieren auf
einem Datensatz aus täglichen IV Flächen für Aktien, Index und Swap
Optionen. Swap IVs bilden eine Ausnahme, da sie in Richtung Swap
Laufzeit und Optionsrestlaufzeit beobachtet werden anstelle von
Moneyness und Optionsrestlaufzeit im Falle von Aktien und Index
Optionen. Aufgrund von strukturellen Unterschieden zwischen Daten
für Optionen mit kurzer und langer Restlaufzeit haben wir uns
entschlossen entsprechende Datensätze unabhängig voneinander zu
untersuchen. Die resultierenden FVPs, für feste Zeitpunkte
ermittelt, sind maximal in Regionen wo die Optionen in-the-money
sind, d.h. wo Moneyness kleiner gleich eins ist, und fallen für
steigende Moneyness Werte. Im Fall von Swap IV ist der
Varianzprozess maximal für Swap Laufzeiten innerhalb von drei und
fünf Jahren. Für die täglichen Änderungen der IVs bedeutet das,
dass diese von einer Optionsrestlaufzeit zur anderen am meisten
variieren, wenn Moneyness / Swap Laufzeit in der besagten Region
liegt. Weiter haben wir FVPs für verschiedene Zeitpunkte bestimmt,
um einen Eindruck von der zeitlichen Entwicklung der Prozesse zu
bekommen und folglich von Schwankungen der täglichen Variation der
IV Fläche in der Zeit. Die Form eines FVP bleibt gleich, d.h.
unsere Ergebnisse für feste Tage sind auch generell gültig.
Schlagwörter: Implizite Volatilität; Implizite Volatilitätsfläche; log returns; Hauptkomponentenanalyse; lokale Polynomschätzer; Funktionaler Varianzprozess