Numerische Methoden zur Analyse hochdimensionaler Daten

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit zwei der wesentlichen Herausforderungen, welche bei der Bearbeitung großer Datensätze auftreten, der Dimensionsreduktion und der Datenentstörung. Der erste Teil dieser Dissertation liefert eine Zusammenfassung über Dimensionsreduktion. Ziel der Dimensionsreduktion ist eine sinnvolle niedrigdimensionale Darstellung eines vorliegenden hochdimensionalen Datensatzes. Insbesondere diskutieren und vergleichen wir bewährte Methoden des Manifold-Learning. Die zentrale Annahme des Manifold-Learning ist, dass der hochdimensionale Datensatz (approximativ) auf einer niedrigdimensionalen Mannigfaltigkeit liegt. Störungen im Datensatz sind bei allen Dimensionsreduktionsmethoden hinderlich. Der zweite Teil dieser Dissertation stellt eine neue Entstörungsmethode für hochdimensionale Daten vor, eine Wavelet-Shrinkage-Methode für die Glättung verrauschter Abtastwerte einer zugrundeliegenden multivariaten stückweise stetigen Funktion, wobei die Abtastpunkte gestreut sein können. Die Methode stellt eine Verallgemeinerung und Weiterentwicklung der für die Bildkompression eingeführten "Easy Path Wavelet Transform" (EPWT) dar. Grundlage ist eine eindimensionale Wavelet-Transformation entlang (adaptiv) zu konstruierender Pfade durch die Abtastpunkte. Wesentlich für den Erfolg der Methode sind passende adaptive Pfadkonstruktionen. Diese Dissertation beinhaltet weiterhin eine kurze Diskussion der theoretischen Eigenschaften von Wavelets entlang von Pfaden sowie numerische Resultate und schließt mit möglichen Modifikationen der Entstörungsmethode.