L^2-Spektraltheorie für Markov-Operatoren
L^2-spectral-theory for Markov operators
by Achim Wübker
Date of Examination:2008-01-07
Date of issue:2008-02-11
Advisor:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:Dr. Susanne Koch
Referee:Prof. Dr. Gerhard Wörner
Referee:PD Dr. Ulf-Rainer Fiebig
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Name:wuebker.pdf
Size:675.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
We analyze the spectral properties of Markov operators induced by Markov chains with general state space on certain L2-spaces. Especially we are interested in the question, whether the associated Markov-operator has the spectral gap property or not. For this we work out three approaches: The first one is based on a work of Lawler & Sokal. We extend this by defining a family of constants in order to obtain necessary and sufficient conditions for the existence of an L2-spectral gap. These conditions are simplified in the case of reversible and weak reversible chains. The second approach uses entropy, especially some growth of entropy associated to the Markov-operator. Defining two different growth conditions, we get again necessary and sufficient conditions for the existence of L2-spectral gaps. Finally we investigate the connections between a.s. geometric ergodicity and the spectral gap property and obtain some new results for the non-reversible case. Additionally we get a new global limit theorem for a sequence of random variables induced by Markov chains for the case of non-normal, \alpha stable limit distribution.
Keywords: spectral gap; isoperimetric constant; entropy; geometric ergodicity; uniform ergodicity; Doeblin-condition
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Wir betrachten Markov-Operatoren induziert durch Markov-Ketten mit beliebigem Zustandsraum auf bestimmten L2-Räumen. Die Frage nach der Existenz einer L2-Spektrallücke ist dabei wesentlich. Die Analyse erfolgt dabei auf drei Wegen. Der erste basiert auf eine Arbeit von Lawler und Sokal. Hierauf aufbauend definieren wir eine Familie von Konstanten, um mit ihrer Hilfe hinreichende und notwendige Kriterien für die Existenz von Spektrallücken zu bekommen. Im Falle reversibler bzw. schwach reversibler Ketten vereinfachen sich diese Bedingungen sehr. Der zweite Zugang basiert auf dem Begriff der Entropie, insbesondere dem des Entropiezuwachses. Wir geben zwei unterschiedliche Wachstumgsbegriffe an, aus denen wiederum hinreichende und notwendige Bedingungen für die Existenz von L2-Spektrallücken hergeleitet werden. Schließlich wird der Zusammenhang von f.s. geometrischer Ergodizität und L2-Spektrallücken untersucht und neue Resultate für den nicht reversiblen Fall erzielt. Zusätzlich beweisen wir einen neuen globalen Grenzwertsatz für eine Folge von Zufallsvariablen induziert durch Markov-Ketten im Falle einer nicht normalen, \alpha-stablilen Grenzverteilung.
Schlagwörter: Spektrallücke; ispoperimetrische Konstante; Entropie; geometrische Ergodizität; Doeblin-Bedingung