A Comparison of Models and Methods for Spatial Interpolation in Statistics and Numerical Analysis
Eine Gegenüberstellung von Modellen und Methoden zur räumlichen Interpolation in der Statistik und der Numerischen Analysis
by Michael Scheuerer
Date of Examination:2009-10-28
Date of issue:2010-06-18
Advisor:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:Prof. Dr. Robert Schaback
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Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
Interpolation of spatial data is a very general mathematical problem with many applications, such as surface reconstruction, the numerical solution of partial differential equations, learning theory, and the prediction of environmental variables, to name a few. One important statistical approach to this problem is known as Kriging, the geostatistical term for optimal linear prediction of spatial processes. It is identical to a method called kernel interpolation used in numerical analysis for the same problem, but derived under completely different modelling assumptions. Despite their similarity, these two approaches have so far been developed largely independently within the two different mathematical communities.Synthesizing results from both statistical and numerical analysis literature with many new results, this monograph presents and contrasts the two modelling paradigms, yielding an understanding of the different notions of optimality and the different concepts to quantify the interpolation error. New results are presented which allow for a comprehensive characterization of the sample path regularity of second-order random fields (the common model in geostatistics), showing that the typical modelling assumptions in numerical analysis are also made implicitly in the statistical model. Finally we explore both theoretically and in simulation studies in how far methods for identifying the covariance parameters of a random field and for selecting a good interpolation kernel can be used in the respective other framework.This PhD thesis is entirely self-contained providing a concise introduction to both probability theory and to the theory of reproducing kernel Hilbert spaces. It is addressed to researchers, lectures and students with a background and interest in either statistics or numerical analysis and may serve as a lecture note as well as a reference manual for questions concerning models and methods for spatial interpolation.
Keywords: spatial interpolation; geostatistics; kernel interpolation; random fields; reproducing kernel Hilbert spaces
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Die Interpolation räumlicher Daten ist eine sehr allgemeine, mathematische Problemstellung mit vielen Anwendung wie zum Beispiel Oberflächenrekonstruktion, numerische Lösung partieller Differentialgleichungen, Lerntheorie, und die Modellierung und Vorhersage von Naturprozessen. Ein wichtiger stochastischer Lösungsansatz für dieses Problem ist bekannt unter dem Schlagwort "Kriging", die geostatistische Bezeichnung für optimale lineare Vorhersage von räumlichen Prozessen. Er ist identisch mit einer Methode die in der numerischen Mathematik als "Kern-Interpolation" bezeichnet und dort für die gleiche Problemstellung verwendet wird, jedoch auf völlig anderen Modellannahmen basiert. Trotz ihrer Ähnlichkeit wurden beide Ansätze in den verschiedenen mathematischen Fachgemeinden weitgehend unabhängig voneinander entwickelt.In dieser Doktorarbeit, die bekannte Ergebnisse aus der Geostatistik und der Approximationstheorie aufgreift und um zusätzliche Aussagen erweitert, werden beide Ansätze vor- und gegenübergestellt, und dadurch ein Verständnis für die verschiedenen Optimalitätsbegriffe und die verschiedenen Konzepte zur Quantifizierung des Interpolationsfehlers geschaffen. Wir beweisen neue Aussagen die eine umfassende Charakterisierung der Glattheit der Pfade eines Zufallsfeldes zweiter Ordnung (das gängige Modell im stochastischen Ansatz) ermöglichen, und zeigen dass typische Modellannahmen im Modell der numerischen Mathematik implizit auch im stochastischen Modell gemacht werden. Zuletzt untersuchen wir, sowohl durch theoretische Überlegungen als auch durch Simulationsstudien, in wie weit die statistischen Methoden zur Identifikation von Kovarianzparametern von Zufallsfeldern und die numerischen Methoden zur Wahl eines geeigneten Interpolationskerns im jeweils anderen Ansatz verwendet werden können.Die vorliegende Doktorarbeit ist in sich abgeschlossen, bietet eine Einführung in die nötigen Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und über Hilberträume mit reproduzierenden Kernen, und ist so geschrieben, dass sie für Forscher, Lehrende und Studenten mit einem fachlichen Hintergrund in Statistik oder numerischer Mathematik verständlich ist. Über das Vorstellen neuer Ergebnisse hinaus eignet sie sich deshalb auch als Vorlesungsskript oder zum Nachschlagen von Fragen zu Methodik und Modellen zur räumlichen Interpolation.
Schlagwörter: Räumliche Interpolation; Geostatistik; Kerninterpolation; Zufallsfelder