Nächste-Nachbar basierte Methoden in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Abstract

Das Thema dieser Arbeit ist die Anwendung der Nächste-Nachbar-Suche in Verfahren der nichtlinearen Zeitreihenanalyse. Ein Haupteinsatzgebiet der Nächste-Nachbar-Suche in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse ist die Modellierung und Vorhersage nichtlinearer dynamischer Systeme. Dazu werden meist skalare Zeitreihen dieser Systeme durch die Technik der Zeitverzögerungsrekonstruktion in einen mehrdimensionalen Zustandsraum eingebettet. Diese Verfahren werden in der Arbeit zusammen mit einer Methode zur Validierung der so gewonnenen Modelle vorgestellt. Als ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit wird dann ein effizienter Algorithmus zur Nächsten-Nachbar-Suche, der sogenannte ATRIA (Advanced Triangle Inequality Algorithm), vorgestellt. Dieser zeichnet sich sowohl durch flexible Wahl der zur Distanzberechnung verwendeten Metrik als auch durch die Möglichkeit aus, die Laufzeit des Algorithmus durch eine abgeschwächte Variante der Suche, bei der sogenannte approximative Nächste-Nachbarn bestimmt werden, weiter zu verringern. Weiter werden verschiedene Methoden der Bestimmung des Spektrums der fraktalen Dimensionen eines dynamischen Systems vorgestellt und verglichen. In diesem Zusammenhang werden numerische Untersuchungen zur Ermittlung des Zusammenhangs zwischen Laufzeit des ATRIA und der fraktalen Dimension des Datensatzes, in dem die Nachbarsuche stattfindet, präsentiert. Danach wird ein Verfahren zur lokalen Modellierung raum-zeitlicher dynamischer Systeme vorgestellt. Dieses Verfahren, bei dem Nächste-Nachbarn in einem vergleichsweise hochdimensionalen Raum bestimmt werden müssen, profitiert deutlich von der Verwendung eines Algorithmus, dessen Laufzeit wie die des vorgestellten ATRIA nur unkritisch von der formalen Dimension des Datensatzes abhängt