Zeit- und Volatilitätsstruktur von Zinssätzen - Modellierung, Implementierung, Kalibrierung
Term and Volatility Structure of Interest Rates - Modelling, Implementation, Calibration
von Lyudmil Zyapkov
Datum der mündl. Prüfung:2007-12-05
Erschienen:2007-12-07
Betreuer:Prof. Dr. Wolfgang Benner
Gutachter:Prof. Dr. Wolfgang Benner
Gutachter:Prof. Dr. Olaf Korn
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Name:zyapkov.pdf
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Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
The thesis traces the modelling developments of the term structure of interest rates from the beginnings in the early seventies of the last century up to the multifactorial cross-currency stochastic volatility Libor Market Models in modern times. We follow the general classification in traditional approaches, which emphasise the equilibrium model by Vasicek and the no arbitrage model by Hull/White (HW) as crucial cornerstones of interest rate modelling, and in modern market approaches, of which the most prominent examples include the Heath/Jarrow/Morton (HJM) framework and the Libor Market Model (LMM). In spite of deriving a general partial differential equation (PDE) for arbitrary payoffs, the thesis casts the traditional models in the mould of the martingale pricing theory and steers clear from the application of PDE techniques. Furthermore, an option pricing model based on a functional dependence of the volatility structure on the interest rate is developed. The equivalence between the HJM family and the HW is shown for a specific volatility function and it is argued that the modern approach defines no universal, self-contained modelling technique. The modern approach rather provides a more flexible vocabulary to describe the characteristics of an already existing traditional model. The second part of the thesis implements the LMM based on a deterministic volatility function and stages a full-blown calibration procedure under the aspect of perfect reproduction of the market observable Black volatilities and the implications for the neighbouring swaption markets. The results from the attempt at a simultaneous calibration to both caplets and swaptions at the same time indicate the possible lack of congruence between both markets. The concluding chapter of the thesis is concerned with stochastic volatility models. It proposes a cross-currency LMM based on a separate variance process for the exchange rate. The model is capable of controlling the skew (vanna risk) and the smile (volga risk) of the implied volatilty surface. In addition, suggestions are made how to extend the model in order to incorporate as much market information as possible.
Keywords: Term Structure of Interest Rates; Martingale Pricing Theory; Stochastic Volatility; Calibration; Valuation
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Die vorliegende Dissertation folgt der
Entwicklung der Zinsstrukturmodellierung seit den Anfängen in den
späten 70ern des vorigen Jahrhunderts bis hin zu den heutigen
multifaktoriellen, währungsübergreifenden Libor-Marktmodellen mit
stochastischer Volatilität. Der Aufbau der Arbeit orientiert sich
an der vorgenommenen Klassifizie-rung in die Gattung der
klassischen Zinsstrukturmodelle, die das Gleichgewichtsmodell von
Vasicek und das arbitragefreie Modell von Hull/White als
entscheidende Entwick-lungsstufen hervorhebt, und in die modernen
Ansätze der marktkonformen Modellierungstechnik, deren namhafteste
Beispiele der Heath/Jarrow/Morton-Modellrahmen (HJM) und das
Libor-Marktmodell (LMM) sind. Ungeachtet der Herleitung einer
allgemeinen partiellen Differentialgleichung für beliebige
Payoff-Funktionen, die wesentlich für die Bewertung von
Zinsderivaten ist, wer-den die klassischen
Zinsstrukturerklärungsansätze unter Abstraktion von dieser Technik
grundlegend umgestaltet, indem sie in die Gussform der
Martingal-Preistheorie hineinmodelliert werden. In einem
weitergehenden Schritt wird ein Optionspreismodell mit funktionaler
Abhängigkeit der Volatilität vom Zinssatz entwickelt. Des Weiteren
wird die Äquivalenz des HJM-Konstrukts und des
Hull/White-Zinsmodells für eine spezifische Volatilitätsfunktion
nachgewiesen und argumentiert, dass der moderne Ansatz keine
universale, in sich geschlossene Konstruktion definiert, sondern
lediglich ein flexibleres Parametrisierungsvokabular zur
Charakterisierung der Merkmale eines aus der Vielfalt von
Modellierungsmethoden ausgewählten, klassischen Zinsstrukturmodells
darstellt. Im zweiten Teil der Arbeit wird das LMM mit
deterministischer Volatilitätsstruktur implementiert und unter dem
Aspekt der perfekten Reproduktion der marktbeobachtbaren
Black-Volatilitäten und der Implikationen für den benachbarten
Swaptionmarkt kalibriert. Aus dem Versuch, eine simultane
Kalibrierung sowohl an Caplets als auch an Swaptions zu erzwingen,
resultiert die Feststellung einer eventuellen Inkongruenz zwischen
den beiden Märkten. Im abschließenden Teil der Dissertation wird
auf die Entwicklung eines Cross Currency LMM mit stochastischer
Volatilität hingewiesen, das durch seine Parametrisierung den Skew
(das Vanna-Risiko) und den Smile (das Volga-Risiko) der impliziten
Volatilitätsstrutur steuern kann.
Schlagwörter: Zinsstruktur; Martingalpreistheorie; stochastische Volatilität; Kalibrierung; Bewertung