On the resolvent of the Laplacian on functions for degenerating surfaces of finite geometry

Abstract

Wir betrachten Familien $(Y_n)$ von degenerierenden hyperbolischen Flächen. Die Flächen sind geometrisch endlich von festem topologischem Typ. Sei $Z_n$ die Selbergsche Zetafunktion von $Y_n$, und sei $Z^d_n$ der Beitrag der zusammengezogenen Geodäten zu $Z_n$. Wir verschärfen ein Resultat Wolperts, indem wir zeigen, dass $Z_n(s)/Z^d_n(s)$ gegen die Zetafunktion der Limes-Fläche konvergiert, falls $\mathrm{Re}(s)>1/2$ gilt. Dazu untersuchen wir die Resolvente des Laplace-Operators. Sie wird durch meromorphe Fredholm-Theorie aus denen elementarer Flächen zusammengesetzt, und als Resultat erhalten wir die Konvergenz der Resolvente $(\Delta_n-t)^{-1}$ für alle $totin[1/4,\infty)$. Wir verwenden dieses Resultat außerdem dazu, approximative Eisenstein-Reihen und Streu-Matrizen einzuführen.