Analytische und numerische Untersuchung von direkten und inversen Randwertproblemen in Gebieten mit Ecken mittels Integralgleichungsmethoden

Abstract

Wir betrachten inverse Randwertprobleme zur Helmholtz- und Laplacegleichung in Gebieten mit Ecken. Die Arbeit ist im wesentlichen in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die funktionalanalytischen Grundlagen dargestellt. Im zweiten Teil betrachten wir das zweidimensionale äussere Dirichletproblem zur Helmholtzgleichung. Beim inversen Problem besteht die Aufgabe darin, den unbekannten nicht-glatten Rand, aus der Kenntnis von Fernfelddaten zugehöriger Streuprobleme bei einfallenden ebenen Wellen, zu rekonstruieren. Die Frechet-Differenzierbarkeit des Fernfeldoperators, der bei fester einfallender Welle den Rand des Streukörpers auf das Fernfeld der gestreuten Welle abbildet, wird gezeigt. Für die numerische Lösung des schlecht gestellten und nichtlinearen Problems stellen wir ein regularisiertes Newton-Verfahren vor. Der Vollständigkeit halber beantworten wir zunächst die Fragen nach Eindeutigkeit und Existenz des direkten Problems. Dabei verwenden wir eine Integralgleichungsmethode und geben ein Konvergenzresultat für die numerische Behandlung an. Im dritten Teil behandeln wir ein direktes und inverses zweidimensionales Randwertproblem zur Laplacegleichung aus der Impedanztomographie. Beim direkten Problem bestimmen wir den Strom auf dem nicht korrodierten Teil der Oberfläche. Beim inversen Problem ist bei bekanntem Dirichlet nach Neumann-Operator der korrodierte Rand zu bestimmen. Dabei setzen wir zur Lösung des inversen Problems wiederum ein Newton-Verfahren ein.