Generalized Seiberg-Witten equations and hyperKähler geometry
Verallgemeinerte Seiberg-Witten Gleichungen und hyperKählersche Geometrie
by Andriy Haydys
Date of Examination:2006-02-09
Date of issue:2006-09-18
Advisor:Prof. Dr. Viktor Pidstrygach
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2589
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
In this thesis we study a certain generalization of the gauge-theoretical Seiberg-Witten equations over a source 4-manifold X. The generalization involves a hyperKähler manifold M with certain symmetries and a nonlinear Dirac operator D acting on equivariant maps u (called spinors) with values in M.We prove a classification theorem for such hyperKähler manifolds and propose a new method for their construction. This allows us to obtain new examples of hyperKähler and closely related to them quaternionic Kähler manifolds. Our construction is quite explicit and, in some cases, this allows to obtain not only existence results but also hyper- and quaternionic- Kähler structures themselves.We also prove that harmonic spinors, i.e. solutions of the equation Du=0, are closely related to solutions of the so-called Cauchy-Riemann-Fueter equation. We then prove that solutions of the Cauchy-Riemann-Fueter equation, which are believed to be a "right" analogue of holomorphic maps in quaternionic context, are exactly those maps, whose differential has no triholomorphic component. Hence we introduce the term "aholomorphic" for such maps. It is also shown that harmonic spinors can be regarded as twisted version (in an appropriate sense) of aholomorphic maps.The last part of the thesis is devoted to the generalized Seiberg-Witten equations over Kähler surfaces. In this case we prove that the space of solutions has a holomorphic description (in the usual complex sense). Further, if X is a product of two holomorphic curves we show (modulo the adiabatic limit conjecture) that there exists a relation between holomorphic curves (in the sense of Gromov theory), the symplectic vortex equations and the generalized Seiberg-Witten equations.
Keywords: hyperKahler; quaternionic Kahler; Seiberg-Witten; Dirac operator; hyperKähler; quaternionic Kähler; Seiberg-Witten; Dirac-Operator
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Wir untersuchen in dieser Dissertation eine Verallgemeinerung der eichtheoretischen Seiberg-Witten Gleichungen über einer 4-Mannigfaltigkeit X. Die Verallgemeinerung erfordert eine hyperKählersche Mannigfaltigkeit M mit gewissen Symmetrien und einen nichtlinearen Dirac-Operator D. Der Definitionsbereich des Dirac-Operators besteht aus allen äquivarianten Abbildungen u mit Werten in M.Wir beweisen einen Klassifikationssatz über solchen hyperKählerschen Mannigfaltigkeiten und schlagen eine neue Konstruktionsmethode vor. Wir erhalten damit neue Beispiele für hyperKählersche und auch naheliegende quaternional-Kählersche Mannigfaltigkeiten. Bei manchen Beispielen zeigen wir nicht nur die Existenz, sondern konstruieren explizit auch hyper- und quaternional- Kählersche Strukturen.Wir beweisen auch, dass harmonische Spinoren, d.h. Lösungen der Gleichung Du=0, verwandt mit Lösungen der sogenannten Cauchy-Riemann-Fueter-Gleichung sind. Wir beweisen danach, dass die Lösungen der Cauchy-Riemann-Fueter-Gleichung, ein "richtiges" Analogon der holomorphen Abbildungen im quaternionalen Kontext, genau die Abbildungen sind, deren Differenzial keine triholomorphe Komponente hat. Deshalb führen wir das Fachwort "aholomorph" ein. Wir zeigen weiter, dass harmonische Spinoren (im gewißen Sinn) als getwistete Version der aholomorphen Abbildungen betrachtet werden können.Das letzte Kapitel der Dissertation ist den verallgemeinerten Seiberg-Witten-Gleichungen über Kählerschen Flächen gewidmet. Hier beweisen wir, dass der Raum der Lösungen eine holomorphe Beschreibung (im üblichen komplexen Sinn) zulässt. Wenn X ein Produkt von zwei holomorphen Kurven ist, zeigen wir (bis auf die "adiabatic limit conjecture"), dass eine Relation zwischen holomorphen Kurven (wie in der Gromov-Theorie), Symplectic-Vortex-Gleichungen und Seiberg-Witten-Gleichungen existiert.