Geometry of universal torsors
Geometrie universeller Torsore
by Ulrich Derenthal
Date of Examination:2006-10-13
Date of issue:2006-11-08
Advisor:Prof. Dr. Yuri Tschinkel
Referee:Prof. Dr. Yuri Tschinkel
Referee:Prof. Dr. Victor Batyrev
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2581
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
We study the geometry and arithmetic of Del Pezzo surfaces. Important examples are cubic surfaces, which were already investigated by Cayley, Schläfli, Steiner, Clebsch, and Cremona in the 19th century. On the geometric side, we are concerned with the geometry of universal torsors over Del Pezzo surfaces. We give a method to determine the equations of universal torsor explicitly using Cox rings. Furthermore, we prove a conjecture of Batyrev that universal torsors of smooth Del Pezzo surfaces of degree 2 and 3 can be embedded naturally in certain homogeneous spaces. On the arithmetic side, we apply universal torsors to questions about rational points on Del Pezzo surfaces over number fields. We prove Manin's conjecture concerning the number of rational points of bounded height in the case of a singular cubic surface. We give a formula for a certain factor of the leading constant in Manin's conjecture, as proposed by Peyre.
Keywords: universal torsor; Cox ring; rational point; Del Pezzo surface
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Wir untersuchen die Geometrie und Arithmetik von Del-Pezzo-Flächen. Wichtige Beispiele sind kubische Flächen, die bereits im 19. Jahrhundert von Cayley, Schläfli, Steiner, Clebsch und Cremona studiert wurden. Auf geometrischer Seite befassen wir uns mit der Geometrie universeller Torsore über Del-Pezzo-Flächen. Wir geben eine Methode an, Gleichungen universeller Torsore mit Hilfe von Cox-Ringen explizit zu bestimmen. Weiterhin beweisen wir eine Vermutung von Batyrev, dass sich universelle Torsore von glatten Del-Pezzo-Flächen von Grad 2 und 3 auf natürliche Weise in gewisse homogene Räume einbetten lassen. Auf arithmetischer Seite wenden wir universelle Torsore auf die Frage nach rationalen Punkten auf Del-Pezzo-Flächen über Zahlkörpern an. Wir beweisen Manins Vermutung über die Anzahl rationaler Punkte beschränkter Höhe im Fall einer singulären kubischen Fläche. Wir geben eine Formel für einen gewissen Faktor der von Peyre vorgeschlagenen führenden Konstante in Manins Vermutung an.
Schlagwörter: universeller Torsor; Cox-Ring; rationaler Punkt; Del-Pezzo-Fläche
