Confidence bands for structural relationship models

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion simultaner Konfidenzbänder für Strukturelle Modelle, die von Freitag (2000) und Freitag und Munk (2005) eingeführt wurden. Wir betrachten den zwei-Stichproben Fall. Dabei sind $X_1, \ldots, X_n$ und $Y_1, \ldots, Y_m$ zwei unabhängige Stichproben mit zugehörigen Verteilungsfunktionen $F_1$ beziehungsweise $F_2$. Das strukturelle Modell $F_1^{-1}(u) = \phi_1(F_2^{-1}(\phi_2(u,h)),h)$ (hier sind $\phi_1$ und $\phi_2$ zweimal differenzierbare reellwertige Funktionen) ist in der Lage verschiedene wichtige Zusammenhänge zwischen den Verteilungsfunktionen $F_1$ und $F_2$ darzustellen. Falls zum Beispiel $\phi_1(t,h) = t + h$ und $\phi_2(u,h) = u$ sind, bekommen wir das wichtige Lokationsmodell.Bei der Konstruktion der Konfidenzbänder schätzen wir zunächst den Parameter $h$, dieser Schätzer wird in die P-P Plot Funktion eingesetzt. Für diese Funktion werden dann mit Hilfe der zwei-Stichproben plug-in empirical Likelihood Methode die Konfidenzbänder konstruiert.Die Arbeit verallgemeinert Hjort's {\sl et al} (2004) Ergebnisse, in der die ein Stichprobe plug-in empirical Likelihood Methode definiert wurde. Eine plug-in Version für empirical Likelihood erlaubt es uns punktweise Konfidenzbänder zu konstruieren. Um simultane Konfidenzbänder zu bekommen, benutzen wir die Methode von Hall und Owen (1993), bei der empirical Likelihood die Gestalt der Bänder bestimmt und die Bootstrap-Methode das Konfidenzniveau festlegt.Claesken's {\sl et al.} (2003) Ergebnisse, bei denen die Konfidenzbänder für gewöhnliche P-P plot Funktionen bezüglich zweier Verteilungsfunktionen $F_1$ und $F_2$ konstruiert wurden, folgt in unserem Arbeit aus dem Spezialfall $\phi_1(t, h) = \phi_2(t, h) = t$. Dabei können die Konfidenzbänder für den P-P und Q-Q plot mit der gleichen Methode konstruiert werden. Dennoch beschränken wir uns auf die Konstruktion von P-P Plot Konfidenzbänder, da sie für strukturelle Modellen in einem gewissen Sinne vorteilhaft sind (siehe z.B. Holmgren im 1995). Darüberhinaus sind P-P Plots sehr interessant, da sie im engen Zusammenhang mit ROC-Kurven (Receiver Operating Characteristic) stehen, welche in der Medizin, Signaltheorie und Psychologie von Bedeutung sind (z.B. see Li, 1996).Speziel für Strukturelle Modelle haben wir eine glatte Version der empirical Likelihood bestimmt, welche die Methode der ein-Stichprobe empirical Likelihood von Chen and Hall (1993) benutzt. Für den Spezialfall des Lokationsmodell haben wir die asymptotischen Überdeckungsniveaus simuliert und Konfidenzbänder für reale Daten konstruiert.