L^2-Spektraltheorie für Markov-Operatoren

Abstract

Wir betrachten Markov-Operatoren induziert durch Markov-Ketten mit beliebigem Zustandsraum auf bestimmten L2-Räumen. Die Frage nach der Existenz einer L2-Spektrallücke ist dabei wesentlich. Die Analyse erfolgt dabei auf drei Wegen. Der erste basiert auf eine Arbeit von Lawler und Sokal. Hierauf aufbauend definieren wir eine Familie von Konstanten, um mit ihrer Hilfe hinreichende und notwendige Kriterien für die Existenz von Spektrallücken zu bekommen. Im Falle reversibler bzw. schwach reversibler Ketten vereinfachen sich diese Bedingungen sehr. Der zweite Zugang basiert auf dem Begriff der Entropie, insbesondere dem des Entropiezuwachses. Wir geben zwei unterschiedliche Wachstumgsbegriffe an, aus denen wiederum hinreichende und notwendige Bedingungen für die Existenz von L2-Spektrallücken hergeleitet werden. Schließlich wird der Zusammenhang von f.s. geometrischer Ergodizität und L2-Spektrallücken untersucht und neue Resultate für den nicht reversiblen Fall erzielt. Zusätzlich beweisen wir einen neuen globalen Grenzwertsatz für eine Folge von Zufallsvariablen induziert durch Markov-Ketten im Falle einer nicht normalen, \alpha-stablilen Grenzverteilung.