Thetafunktionen und konjugationsinvariante Funktionen auf Paaren von Matrizen
Theta functions and conjugation invariant functions on pairs of matrices
by Annika Eickhoff-Schachtebeck
Date of Examination:2008-09-30
Date of issue:2009-01-16
Advisor:Prof. Dr. Viktor Pidstrygach
Referee:Prof. Dr. Viktor Pidstrygach
Referee:Prof. Dr. Ulrich Stuhler
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Name:eickhoff_schachtebeck.pdf
Size:668.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
We express conjugation-invariant functions on the space of equivalence classes of pairs of kxk matrices via theta functions. Our approach is based on the well-known interplay between algebraic geometry and the theory of integrable systems. Every equivalence class of pairs of matrices defines the so-called spectral curve S and a line bundle L on S. Both together give a complete invariant for equivalence classes of pairs of matrices. This yields an identification between the set of equivalence classes of pairs of matrices with fixed spectral curve and the affine Jacobian of this curve, i.e. the Jacobian without a theta divisor. By using Painleve-analysis we describe subvarieties of the theta divisor by families of formal Laurent series of matrix polynomials. This leads to a description of conjugation invariant functions by theta functions modulo constant terms. To determine the explicit constant term we develop concrete extensions of sections of appropriate vector bundles of arbitrary order. Finally we present an algorithm for describing conjugation invariant functions on pairs of matrices via theta functions and carry out the calculations on the example tr([A,B]2).
Keywords: pairs of matrices; theta functions; painleve analysis; integrable systems; spectral curves
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Wir stellen konjugationsinvariante Funktionen auf dem Raum der Äquivalenzklassen von Paaren von komplexwertigen kxk-Matrizen durch Thetafunktionen dar. Hierzu nutzen wir das Zusammenspiel von Algebraischer Geometrie und Integrablen Systemen. Jede Äquivalenzklasse von Paaren von Matrizen definiert eine Algebraische Kurve S, die sogenannte Spektralkurve, und ein Geradenbündel L über S, das sogenannte Eigenvektorbündel. Spektralkurve und Eigenvektorbündel bilden zusammen eine vollständige Invariante zu Äquivalenzklassen von Paaren von Matrizen. Insbesondere kann die Menge aller Äquivalenzklassen von Paaren von Matrizen mit fester Spektralkurve mit der affinen Jakobischen dieser Kurve, d.h. der Jakobischen ohne einem Thetadivisor, identifiziert werden. Unter Verwendung von Painleve-Analysis drücken wir Untervarietäten des Thetadivisors durch Familien von formalen Laurentreihen von Matrixpolynomen aus. Hierdurch erhalten wir eine Darstellung von konjugationsinvarianten Funktionen durch Thetafunktionen bis auf konstante Terme. Zur Berechnung der Konstanten entwickeln wir konkrete Erweiterungen von Schnitten geeigneter Vektorbündel beliebiger Ordnung. Abschließend geben wir einen Algorithmus zur Beschreibung von konjugationsinvarianten Funktionen auf Paaren von Matrizen mittels Thetafunktionen an und führen diesen am Beispiel tr([A,B]2) aus.
Schlagwörter: Paare von Matrizen; Thetafunktionen; Painleve-Analysis; integrable Systeme; Spektralkurve