Thetafunktionen und konjugationsinvariante Funktionen auf Paaren von Matrizen

Abstract

Wir stellen konjugationsinvariante Funktionen auf dem Raum der Äquivalenzklassen von Paaren von komplexwertigen kxk-Matrizen durch Thetafunktionen dar. Hierzu nutzen wir das Zusammenspiel von Algebraischer Geometrie und Integrablen Systemen. Jede Äquivalenzklasse von Paaren von Matrizen definiert eine Algebraische Kurve S, die sogenannte Spektralkurve, und ein Geradenbündel L über S, das sogenannte Eigenvektorbündel. Spektralkurve und Eigenvektorbündel bilden zusammen eine vollständige Invariante zu Äquivalenzklassen von Paaren von Matrizen. Insbesondere kann die Menge aller Äquivalenzklassen von Paaren von Matrizen mit fester Spektralkurve mit der affinen Jakobischen dieser Kurve, d.h. der Jakobischen ohne einem Thetadivisor, identifiziert werden. Unter Verwendung von Painleve-Analysis drücken wir Untervarietäten des Thetadivisors durch Familien von formalen Laurentreihen von Matrixpolynomen aus. Hierdurch erhalten wir eine Darstellung von konjugationsinvarianten Funktionen durch Thetafunktionen bis auf konstante Terme. Zur Berechnung der Konstanten entwickeln wir konkrete Erweiterungen von Schnitten geeigneter Vektorbündel beliebiger Ordnung. Abschließend geben wir einen Algorithmus zur Beschreibung von konjugationsinvarianten Funktionen auf Paaren von Matrizen mittels Thetafunktionen an und führen diesen am Beispiel tr([A,B]2) aus.