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Sampling Inequalities and Applications

Sampling Ungleichungen und Anwendungen

by Christian Rieger
Doctoral thesis
Date of Examination:2008-03-28
Date of issue:2009-02-10
Advisor:Prof. Dr. Robert Schaback
Referee:Prof. Dr. Robert Schaback
Referee:Prof. Dr. Gert Lube
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2484

 

 

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Name:rieger.pdf
Size:1.04Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

Sampling inequalities quantify the observation that a differentiable function cannot attain large values anywhere if its derivatives are bounded, and if it produces small data on a sufficiently dense discrete set.Inequalities of this kind can be used to derive a priori error estimates for various regularized approximation problems as they occur for instance in machine learning algorithms or PDE solvers. On the one hand, we derive several new sampling inequalities, e.g., for functions with special smoothness properties, or for more general weak discrete data.On the other hand, we illustrate various applications of sampling inequalities, in particular in the error analysis of manifold approximation or reconstruction processes. As an additional tool, we prove a meshless analogon to inverse estimates in the finite element literature. These Bernstein-type inequalities for finite-dimensional spaces of translates of radial basis functions with algebraically decaying Fourier transforms bound a strong norm on a bounded domain by a weaker norm wheighted by an equivalence constant that can be expressed explicitly in terms of the geometry of the discrete set of centers.A combination of inverse estimates and sampling inequalities enables us to prove convergence rates for general unsymmetric kernel-based recovery methods.
Keywords: deterministic error analysis; Sobolev space; Kernel-based methods; Radial Basis Function; Approximation; reproducing kernel Hilbert space; Regularization

Other Languages

Sampling Ungleichungen quantifizieren die Beobachtung, dass eine differenzierbare Funktion global kleine Werte annehmen muss, wenn sie auf einer hinreichend dichten diskreten Menge kleine Werte produziert und beschränkte höhere Ableitungen hat.Solche Abschätzungen führen zu a priori Fehlerabschätzungen für verschiedenste Rekonstruktionsprobleme, wie sie zum Beispiel in der Lerntheorie oder bei Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen auftreten. In dieser Arbeit beweisen wir verschiedene neue Sampling Ungleichungen. Dazu gehören klassische Sampling Ungleichungen für Funktionen mit speziellen Glätteeigenschaften und Sampling Ungleichungen für allgemeinere schwache diskrete Werte einer Funktion.Außerdem präsentieren wir Methoden zur deterministischen Fehleranalyse einiger gängiger Approximationsverfahren, basierend auf Sampling Ungleichungen. Hierzu zeigen wir ein gitterfreies Analogon zu inversen Ungleichungen aus der Theorie der Finiten Elemente. Wir beweisen solche Bernstein-Ungleichungen für endlich dimensionale Räume, die von Translaten einer radialen Basisfunktionen mit algebraisch abklingenden Fouriertransformierten erzeugt werden. Die Ungleichungen schätzen eine starke Norm gegen eine schwächere Norm multipliziert mit einer Konstante ab, für die wir eine explizite obere Schranke in Abhängigkeit der Geometrie der diskreten Stützstellen angeben. Sampling Ungleichungen und inverse Abschätzungen zusammen liefern eine Technik, um Konvergenzraten für unsymmetrische Kern-basierte Rekonstruktionsverfahren zu beweisen.
Schlagwörter: Deterministische Fehlertheorie; Sobolev Raum; Kernmethoden; Radiale Basisfunktion; Approximation; Reproduzierender Kern-Hilbertraum; Regularisierung
 

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