Sampling Inequalities and Applications

Abstract

Sampling Ungleichungen quantifizieren die Beobachtung, dass eine differenzierbare Funktion global kleine Werte annehmen muss, wenn sie auf einer hinreichend dichten diskreten Menge kleine Werte produziert und beschränkte höhere Ableitungen hat.Solche Abschätzungen führen zu a priori Fehlerabschätzungen für verschiedenste Rekonstruktionsprobleme, wie sie zum Beispiel in der Lerntheorie oder bei Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen auftreten. In dieser Arbeit beweisen wir verschiedene neue Sampling Ungleichungen. Dazu gehören klassische Sampling Ungleichungen für Funktionen mit speziellen Glätteeigenschaften und Sampling Ungleichungen für allgemeinere schwache diskrete Werte einer Funktion.Außerdem präsentieren wir Methoden zur deterministischen Fehleranalyse einiger gängiger Approximationsverfahren, basierend auf Sampling Ungleichungen. Hierzu zeigen wir ein gitterfreies Analogon zu inversen Ungleichungen aus der Theorie der Finiten Elemente. Wir beweisen solche Bernstein-Ungleichungen für endlich dimensionale Räume, die von Translaten einer radialen Basisfunktionen mit algebraisch abklingenden Fouriertransformierten erzeugt werden. Die Ungleichungen schätzen eine starke Norm gegen eine schwächere Norm multipliziert mit einer Konstante ab, für die wir eine explizite obere Schranke in Abhängigkeit der Geometrie der diskreten Stützstellen angeben. Sampling Ungleichungen und inverse Abschätzungen zusammen liefern eine Technik, um Konvergenzraten für unsymmetrische Kern-basierte Rekonstruktionsverfahren zu beweisen.