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Sampling Inequalities and Applications

dc.contributor.advisorSchaback, Robert Prof. Dr.de
dc.contributor.authorRieger, Christiande
dc.date.accessioned2009-02-10T15:27:21Zde
dc.date.accessioned2013-01-18T13:20:57Zde
dc.date.available2013-01-30T23:50:54Zde
dc.date.issued2009-02-10de
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B3B9-0de
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-2484
dc.description.abstractSampling Ungleichungen quantifizieren die Beobachtung, dass eine differenzierbare Funktion global kleine Werte annehmen muss, wenn sie auf einer hinreichend dichten diskreten Menge kleine Werte produziert und beschränkte höhere Ableitungen hat.Solche Abschätzungen führen zu a priori Fehlerabschätzungen für verschiedenste Rekonstruktionsprobleme, wie sie zum Beispiel in der Lerntheorie oder bei Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen auftreten. In dieser Arbeit beweisen wir verschiedene neue Sampling Ungleichungen. Dazu gehören klassische Sampling Ungleichungen für Funktionen mit speziellen Glätteeigenschaften und Sampling Ungleichungen für allgemeinere schwache diskrete Werte einer Funktion.Außerdem präsentieren wir Methoden zur deterministischen Fehleranalyse einiger gängiger Approximationsverfahren, basierend auf Sampling Ungleichungen. Hierzu zeigen wir ein gitterfreies Analogon zu inversen Ungleichungen aus der Theorie der Finiten Elemente. Wir beweisen solche Bernstein-Ungleichungen für endlich dimensionale Räume, die von Translaten einer radialen Basisfunktionen mit algebraisch abklingenden Fouriertransformierten erzeugt werden. Die Ungleichungen schätzen eine starke Norm gegen eine schwächere Norm multipliziert mit einer Konstante ab, für die wir eine explizite obere Schranke in Abhängigkeit der Geometrie der diskreten Stützstellen angeben. Sampling Ungleichungen und inverse Abschätzungen zusammen liefern eine Technik, um Konvergenzraten für unsymmetrische Kern-basierte Rekonstruktionsverfahren zu beweisen.de
dc.format.mimetypeapplication/pdfde
dc.language.isoengde
dc.rights.urihttp://webdoc.sub.gwdg.de/diss/copyr_diss.htmlde
dc.titleSampling Inequalities and Applicationsde
dc.typedoctoralThesisde
dc.title.translatedSampling Ungleichungen und Anwendungende
dc.contributor.refereeSchaback, Robert Prof. Dr.de
dc.date.examination2008-03-28de
dc.subject.dnb510 Mathematikde
dc.description.abstractengSampling inequalities quantify the observation that a differentiable function cannot attain large values anywhere if its derivatives are bounded, and if it produces small data on a sufficiently dense discrete set.Inequalities of this kind can be used to derive a priori error estimates for various regularized approximation problems as they occur for instance in machine learning algorithms or PDE solvers. On the one hand, we derive several new sampling inequalities, e.g., for functions with special smoothness properties, or for more general weak discrete data.On the other hand, we illustrate various applications of sampling inequalities, in particular in the error analysis of manifold approximation or reconstruction processes. As an additional tool, we prove a meshless analogon to inverse estimates in the finite element literature. These Bernstein-type inequalities for finite-dimensional spaces of translates of radial basis functions with algebraically decaying Fourier transforms bound a strong norm on a bounded domain by a weaker norm wheighted by an equivalence constant that can be expressed explicitly in terms of the geometry of the discrete set of centers.A combination of inverse estimates and sampling inequalities enables us to prove convergence rates for general unsymmetric kernel-based recovery methods.de
dc.contributor.coRefereeLube, Gert Prof. Dr.de
dc.subject.topicMathematics and Computer Sciencede
dc.subject.gerDeterministische Fehlertheoriede
dc.subject.gerSobolev Raumde
dc.subject.gerKernmethodende
dc.subject.gerRadiale Basisfunktionde
dc.subject.gerApproximationde
dc.subject.gerReproduzierender Kern-Hilbertraumde
dc.subject.gerRegularisierungde
dc.subject.engdeterministic error analysisde
dc.subject.engSobolev spacede
dc.subject.engKernel-based methodsde
dc.subject.engRadial Basis Functionde
dc.subject.engApproximationde
dc.subject.engreproducing kernel Hilbert spacede
dc.subject.engRegularizationde
dc.subject.bk31.49de
dc.subject.bk31.76de
dc.identifier.urnurn:nbn:de:gbv:7-webdoc-2026-9de
dc.identifier.purlwebdoc-2026de
dc.affiliation.instituteFakultät für Mathematik und Informatikde
dc.subject.gokfullEGFN 150: Error bounds {Numerical analysis: Partial differential equationsde
dc.subject.gokfullboundary value problems}de
dc.subject.gokfullEGFJ 990: None of the abovede
dc.subject.gokfullbut in this section {Numerical analysis: Numerical analysis in abstract spaces}de
dc.identifier.ppn606107878de


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