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Komplexität und Stabilität von kernbasierten Rekonstruktionsmethoden

Complexity and Stability of Kernel-based Reconstructions

by Stefan Müller
Doctoral thesis
Date of Examination:2009-01-21
Date of issue:2009-03-19
Advisor:Prof. Dr. Robert Schaback
Referee:Prof. Dr. Robert Schaback
Referee:Prof. Dr. Gert Lube
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2481

 

 

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Name:mueller.pdf
Size:748.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

We are looking at functions $f : \mathbb{R}^d → \mathbb{R}$ and reconstruct them by $f (x) =\sum_{j=1}^N \alpha_j K(x,x_j)$, where $K$ is a positive definite, symmetric kernel, $x_j \in \mathbb{R}^d , \alpha_j \in \mathbb{R}$.In the literature this is known as kernel-based reconstruction. Our goal is to reduce the number N of points which are needed to reach a given error level by using so called Greedy methods. It is shown that the data based f-Greedy method gives asymptotically the same convergence order on the interval like equidistant points, but numerically much better error bounds for the Greedy method are observed. In higher dimension at least linear convergence order is shown and for the number of interpolation points in the interior of the domain we have quadratic convergence. As a second main topic we look at stability of these reconstructions. For a Newton type basis in the Native Space better stability behaviour is shown than for the standard Kernel basis. In addition the elements of the Newton basis are orthogonal in the Native Space and therefore provide series expansions for the elements of the Native Space. For the kernel itself a special expansion is given. Finally, it is shown that the elements of the Newton basis can be bounded in absolute value by 1, if the points are choosen by the P -Greedy method. The good stability properties of the Newton basis are also observed numerically.
Keywords: radial basis function; kernel; interpolation; greedy; stability

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Diese Arbeit handelt von Rekonstruktionen von Funktionen der Form $f : \mathbb{R}^d → \mathbb{R}$ durch $f (x) =\sum_{j=1}^N \alpha_j K(x,x_j)$ mit positiv definitem, symmetrischem Kern, $x_j \in \mathbb{R}^d , \alpha_j \in \mathbb{R}$. Zur Untersuchung und Reduktion der Anzahl der benötigten Punkte N bei vorgegebenem Fehlerlevel werden sogenannte Greedy-Verfahren zur Punktauswahl betrachtet. Dabei wird bewiesen, dass bei der datenabhängigen Punktwahl durch sogenanntes f -Greedy auf Intervallen für Teilfolgen mindestens die gleiche Konvergenzordnung wie bei äquidistanten Punkten erreicht wird. Zu dem Fehler- und Stabilitätsverhalten verschiedener Greedy-Verfahren werden zusätzlich numerische Tests durchgeführt. Dabei wird ein wesentlich besseres Konvergenzverhalten bei f -Greedy als bei der Verwendung von Gitterpunkten beobachtet. In höherer Dimension wird für Teilfolgen zumindest lineare Konvergenz und im Inneren des Gebiets quadratische Konvergenz bewiesen. Zur Untersuchung der Stabilitätsprobleme bei der Interpolation mit Kernfunktionen wird eine Newton-Basis für Kernfunktionen betrachtet und gezeigt, dass diese Basis sich stabiler als die Standardbasis verhält. Darüber hinaus sind die Elemente der Newton-Basis im Native Space orthogonal zueinander. Mit dieser Orthogonalbasis ist es möglich unter schwachen Voraussetzungen die Funktionen des Native Space in einer Reihe zu entwickeln. Eine spezielle Darstellung wird dabei für den reproduzierenden Kern hergeleitet. Schließlich wird bewiesen, dass die Elemente der Newton-Basis ein globales Maximum an dem zugehörigen Interpolationspunkt besitzen und betragsmäßig durch 1 beschränkt sind, falls die verwendeten Punkte durch P -Greedy ausgewählt werden. Das gute Stabilitätsverhalten der Newton-Basis wird zusätzlich durch numerische Tests belegt.
Schlagwörter: Radiale Basisfunktionen; Kerne; Interpolation; Greedy; Stabilität
 

Statistik

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