Komplexität und Stabilität von kernbasierten Rekonstruktionsmethoden

Abstract

Diese Arbeit handelt von Rekonstruktionen von Funktionen der Form $f : \mathbb{R}^d → \mathbb{R}$ durch $f (x) =\sum_{j=1}^N \alpha_j K(x,x_j)$ mit positiv definitem, symmetrischem Kern, $x_j \in \mathbb{R}^d , \alpha_j \in \mathbb{R}$. Zur Untersuchung und Reduktion der Anzahl der benötigten Punkte N bei vorgegebenem Fehlerlevel werden sogenannte Greedy-Verfahren zur Punktauswahl betrachtet. Dabei wird bewiesen, dass bei der datenabhängigen Punktwahl durch sogenanntes f -Greedy auf Intervallen für Teilfolgen mindestens die gleiche Konvergenzordnung wie bei äquidistanten Punkten erreicht wird. Zu dem Fehler- und Stabilitätsverhalten verschiedener Greedy-Verfahren werden zusätzlich numerische Tests durchgeführt. Dabei wird ein wesentlich besseres Konvergenzverhalten bei f -Greedy als bei der Verwendung von Gitterpunkten beobachtet. In höherer Dimension wird für Teilfolgen zumindest lineare Konvergenz und im Inneren des Gebiets quadratische Konvergenz bewiesen. Zur Untersuchung der Stabilitätsprobleme bei der Interpolation mit Kernfunktionen wird eine Newton-Basis für Kernfunktionen betrachtet und gezeigt, dass diese Basis sich stabiler als die Standardbasis verhält. Darüber hinaus sind die Elemente der Newton-Basis im Native Space orthogonal zueinander. Mit dieser Orthogonalbasis ist es möglich unter schwachen Voraussetzungen die Funktionen des Native Space in einer Reihe zu entwickeln. Eine spezielle Darstellung wird dabei für den reproduzierenden Kern hergeleitet. Schließlich wird bewiesen, dass die Elemente der Newton-Basis ein globales Maximum an dem zugehörigen Interpolationspunkt besitzen und betragsmäßig durch 1 beschränkt sind, falls die verwendeten Punkte durch P -Greedy ausgewählt werden. Das gute Stabilitätsverhalten der Newton-Basis wird zusätzlich durch numerische Tests belegt.