Rough Isometries of Order Lattices and Groups
Grobe Isometrien von Ordnungsverbänden und Gruppen
by Andreas Lochmann
Date of Examination:2009-08-06
Date of issue:2009-12-07
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Laurent Bartholdi
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Size:823.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
We first introduce some basic concepts in metric geometry and order lattice theory. We then combine these concepts to study order lattices with metrics, in particular with view on the derivation of calculation rules and inequalities with respect to the operations defined by the lattice, and the connection to the calculus of Venn diagrams. A special section will deal with a generalized version of irreducibility in a lattice, depending on the chosen metric, and its connection to the underlying topology.The second chapter deals with a very special version of lattices with metrics, the Lipschitz function spaces of metric spaces of functions with bounded Lipschitz constant. We start with a simple smoothening theorem, which is then elaborated and fitted into the context of lattices with metrics, giving a powerful connection between the algebraic-metrical properties of the function space on the one hand and its underlying metric space on the hand. An advanced triangulation-kind argument yields the converse of the smoothening theorem, which directly connects the coarse geometry of the metric space to the algebraic-coarse-geometrical properties of the function space. An extensive list of counter-examples demonstrates the specialness of the chosen metric on the function space, and in the last section a consequence for scaling limits is considered.The third and last chapter explores the use of rough isometries and a new kind of uniform ("shared") quasi-isometries to understand the algebraic nature of discrete groups. While it is known that for certain classes of groups quasi-isometry and commensurability are equivalent concepts, there are examples where they are not. We show how to explicitly derive algebraic properties similar to commensurability from geometric properties by means of combinatorial arguments in groups with particularly non-special generating systems.
Keywords: rough isometry; metric lattice; commensurability; quasi-isometry; Lipschitz function
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Wir führen zunächst einige grundlegende Konzepte der metrischen Geometrie und der Verbandstheorie ein. Wir kombinieren dann diese Konzepte, um Ordnungsverbände mit Metriken zu studieren, insbesondere in Hinblick auf die Herleitung von Rechenregeln und Ungleichungen mit Bezug auf die durch den Verband definierten Operationen, und in Zusammenhang mit dem Kalkül der Venn-Diagramme. Ein spezialisierter Abschnitt behandelt eine verallgemeinerte Version der Irreduzibilität in einem Verband, die von der gewählten Metrik abhängt, sowie ihren Zusammenhang mit der zugrundeliegenden Topologie.Das zweite Kapitel behandelt eine sehr spezielle Form von Verbänden mit Metrik, die Lipschitzfunktionsräume von metrischen Räumen von Funktionen mit beschränkter Lipschitz-Konstante. Wir beginnen mit einem einfachen Glättungssatz, welcher dann ausgebaut und in den Rahmen eines Verbandes mit Metrik eingegliedert wird, womit wir eine fähige Verbindung herstellen können zwischen den algebraisch-metrischen Eigenschaften des Funktionsraumes einerseits und seinem zugrundeliegenden metrischen Raum andererseits. Ein fortgeschrittenes, triangulations-artiges Argument liefert dann die Umkehrung des Glättungssatzes, welche die grobe Geometrie des metrischen Raums in Zusammenhang zu den algebraisch-grob-geometrischen Eigenschaften des Funktionsraumes bringt. Eine ausführliche Liste von Gegenbeispielen demonstriert die Besonderheit der von uns gewählten Metrik auf dem Funktionsraum, und im letzten Abschnitt betrachten wir eine Folgerung für Skalenlimites.Das dritte und letzte Kapitel erforscht den Nutzen von groben Isometrien und einer neuartigen Form uniformer ("gemeinsamer") Quasi-Isometrien für das Verständnis der algebraischen Natur diskreter Gruppen. Während es für bestimmte Klassen von Gruppen bekannt ist, dass Quasi-Isometrie und Kommensurabilität äquivalente Konzepte sind, gibt es Beispiele, in denen sie es nicht sind. Wir zeigen, wie man explizit algebraische Eigenschaften Ähnlich der Kommensurabilität aus geometrischen Eigenschaften herleiten kann mittels kombinatorischer Argumente für Gruppen mit ausgeprägt nicht-speziellen Erzeugendensystemen.
Schlagwörter: grobe Isometrie; metrischer Verband; Kommensurabilität; Quasi-Isometrie; Lipschitzfunktion