Some remarks on the central limit theorem for stationary Markov processes

Einige Bermerkungen zum zentralen Grenzwertsatz für stationäre Markoffsche Prozesse

by Hajo Holzmann
Doctoral thesis
Date of Examination:2004-04-21
Date of issue:2004-05-19
Advisor:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:PD Dr. Ulf-Rainer Fiebig
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2458

 

 

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Description:Dissertation

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Abstract

English

The central limit theorem for additive functionals of stationary ergodic Markov processes is investigated via the method of martingale approximations. We give a necessary and sufficient condition for the existence of martingale approximations for discrete and continuous time Markov processes in terms of the resolvent representation.This criterion is applied to certain classes of processes. Firstly we discuss processes with normal generator. Examples in this class are given by convolution semigroups on compact, commutative hypergroups and certain convolution semigroups on compact groups and compact homogeneous spaces. Furthermore we consider processes with transition operators which admit invariant orthogonal splittings of the space of square-integrable functions. For such processes several sufficient conditions for the existence of martingale approximations are improved. As examples we consider exact endomorphisms of compact Abelian groups, random walks on compact homogeneous spaces and compact group extensions.In dieser Arbeit wird der zentralen Grenzwertsatz für stationäre ergodische Markoffsche Prozesse mittels der Methode der Martingal Approximationen untersucht. Wir leiten eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von Martingal Approximationen für Markoffsche Prozesse in diskreter und stetiger Zeit über die Resolventendarstellung her.Dieses Kriterium wenden wir auf verschiedene Klassen von Prozessen an. Zunächst untersuchen wir Prozesse mit normalem Erzeuger. Beispiele in dieser Klasse sind Faltungshalbgruppen auf kompakten kommutativen Hypergruppen und einige Faltungshalbgruppen auf kompakten Gruppen und kompakten homogenen Räumen. Weiterhin betrachten wir Prozesse mit Übergangsoperatoren, die invariante orthogonale Zerlegungen des Raumes der quadratintegrierbaren Funktionen besitzen. Für solche Prozesse verbessern wir mehrere hinreichende Bedingungen für die Existenz von Martingal Approximationen. Als Beispiele betrachten wir exakte Endomorphismen kompakter Abelscher Gruppen, Irrfahrten auf kompakten Gruppen und kompakte Gruppenerweiterungen.
Keywords: central limit theorem; Markov process; martingale; spectral theorem
Schlagwörter: zentraler Grenzwertsatz; Markoffscher Prozess; Martingal; Spektralsatz; 510 Mathematik
 
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