Twisted K-theory with coefficients in a C*-algebra and obstructions against positive scalar curvature metrics

Abstract

Zur geometrischen Realisierung von getwisteter K-Theorie mit Koeffizienten in einer C*-Algebra A führen wir den Begriff des getwisteten Hilbert A-Modulbündels ein. Dies ist eine Konstruktion, die Moduln über einer Bündelgerbe in ähnlicher Art und Weise erweitert wie gewöhnliche Bündel von Hilbert A-Moduln Verallgemeinerungen des Konzeptes der Vektorbündel darstellen. Die zugehörige Grothendieck-Gruppe ist isomorph zu K_0(C(M,S)), wobei S ein Bündel von C*-Algebren ist, dessen Strukturgruppe sich auf PU(A) = U(A)/U(1) reduziert. Im Fall eines Matrizenbündels liefert diese Beschreibung die getwistete K-Theorie, weshalb K_0(C(M,S)) als getwistete K-Theorie mit Koeffizienten in A verstanden werden kann.Lässt sich die Strukturgruppe von S auf eine Lie-Gruppe G reduzieren (eine Annahme, die in allen von uns betrachteten geometrischen Anwendungen zutrifft), so lassen sich differentialgeometrische und indextheoretische Konstruktionen auf getwistete Bündel übertragen. Insbesondere definieren wir Zusammenhänge auf getwisteten Bündeln und einen Chern-Charakter, der Werte in der Kohomologie mit Koeffizienten in (K_0(A) \otimes R) annimmt. Durch Gegentwisten mit entsprechenden Bündeln beweisen wir Verallgemeinerungen des Indexsatzes von Mishchenko und Fomenko. Da in unseren Anwendungen flache Gegentwists eine zentrale Rolle spielen, liefern wir eine Klassifizierung flacher Moduln über Bündelgerben durch deren (projektive) Holonomie. Außerdem betrachten wir transversal elliptische Pseudodifferentialoperatoren auf getwisteten Hilbert A-Modulbündeln und definieren einen distributiven Index für den Fall, dass eine Spur auf A existiert.Algebren der Form C(M,S) treten in natürlicher Weise bei Indexproblemen auf Mannigfaltigkeiten mit fehlender K-Orientierung in Erscheinung. Insbesondere enthält die getwistete K-Homologie solcher Mannigfaltigkeiten immer noch ein Element, das durch einen entsprechenden Dirac-Operator induziert wird und als Fundamentalklasse gesehen werden kann. Wir beweisen, dass der Rosenberg-Index im Fall fehlender K-Orientierung aus der Paarung dieser Klasse mit einem entsprechenden getwisteten Hilbert A-Modulbündel entsteht. Diese Invariante stellt eine Index-Obstruktion gegen die Existenz von Metriken mit positiver skalarer Krümmung dar. Im Spin-Fall wurde von Hanke und Schick bewiesen, dass sie für vergrößerbare Mannigfaltigkeiten nicht verschwindet. Als Anwendung unserer Theorie verallgemeinern wir dieses Resultat auf beliebige vergrößerbare Mannigfaltigkeiten.