A Comparison of Models and Methods for Spatial Interpolation in Statistics and Numerical Analysis

Abstract

Die Interpolation räumlicher Daten ist eine sehr allgemeine, mathematische Problemstellung mit vielen Anwendung wie zum Beispiel Oberflächenrekonstruktion, numerische Lösung partieller Differentialgleichungen, Lerntheorie, und die Modellierung und Vorhersage von Naturprozessen. Ein wichtiger stochastischer Lösungsansatz für dieses Problem ist bekannt unter dem Schlagwort "Kriging", die geostatistische Bezeichnung für optimale lineare Vorhersage von räumlichen Prozessen. Er ist identisch mit einer Methode die in der numerischen Mathematik als "Kern-Interpolation" bezeichnet und dort für die gleiche Problemstellung verwendet wird, jedoch auf völlig anderen Modellannahmen basiert. Trotz ihrer Ähnlichkeit wurden beide Ansätze in den verschiedenen mathematischen Fachgemeinden weitgehend unabhängig voneinander entwickelt.In dieser Doktorarbeit, die bekannte Ergebnisse aus der Geostatistik und der Approximationstheorie aufgreift und um zusätzliche Aussagen erweitert, werden beide Ansätze vor- und gegenübergestellt, und dadurch ein Verständnis für die verschiedenen Optimalitätsbegriffe und die verschiedenen Konzepte zur Quantifizierung des Interpolationsfehlers geschaffen. Wir beweisen neue Aussagen die eine umfassende Charakterisierung der Glattheit der Pfade eines Zufallsfeldes zweiter Ordnung (das gängige Modell im stochastischen Ansatz) ermöglichen, und zeigen dass typische Modellannahmen im Modell der numerischen Mathematik implizit auch im stochastischen Modell gemacht werden. Zuletzt untersuchen wir, sowohl durch theoretische Überlegungen als auch durch Simulationsstudien, in wie weit die statistischen Methoden zur Identifikation von Kovarianzparametern von Zufallsfeldern und die numerischen Methoden zur Wahl eines geeigneten Interpolationskerns im jeweils anderen Ansatz verwendet werden können.Die vorliegende Doktorarbeit ist in sich abgeschlossen, bietet eine Einführung in die nötigen Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und über Hilberträume mit reproduzierenden Kernen, und ist so geschrieben, dass sie für Forscher, Lehrende und Studenten mit einem fachlichen Hintergrund in Statistik oder numerischer Mathematik verständlich ist. Über das Vorstellen neuer Ergebnisse hinaus eignet sie sich deshalb auch als Vorlesungsskript oder zum Nachschlagen von Fragen zu Methodik und Modellen zur räumlichen Interpolation.