Julia Set as a Martin Boundary
Julia Set as a Martin Boundary
by Md. Shariful Islam
Date of Examination:2010-07-05
Date of issue:2010-11-18
Advisor:Prof. Dr. Laurent Bartholdi
Referee:Prof. Dr. Preda Mihailescu
Referee:Prof. Dr. Max Wardetzky
Referee:Prof. Dr. Anja Sturm
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2452
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
The Julia set of the class of hyperbolic rational maps having a totally disconnected Julia set is here identified as the Martin boundary of a Markov chain by using symbolic dynamics. When the Julia set is also bounded, this connection allows one to relate various thermodynamic concepts, such as entropy, measure of maximal entropy, Gibbs measure, and measure of equilibrium, to potential theoretic concepts such as capacity and harmonic measures on the Julia set on which a suitable potential function is defined. We have identified the measure of maximal entropy for that class of rational maps on the Julia set; it is simply the image measure of a certain Bernoulli measure on the shift space. We have also proven that the harmonic measure on the Julia set is the image measure of a non-atomic, quasi-invariant, conservative measure on the one-sided shift space.We have further shown that this quasi-invariant measure is a Gibbs measure and is equivalent to a Bernoulli measure. By using the Ruelle-Perron-Frobenius theorem we have deduced that the Gibbs measure gives rise to a unique, shift-invariant equilibrium measure. We have further established that the measure of equilibrium for the logarithmic potential and the classical harmonic measure coincide in our case (with the Julia set being bounded and totally disconnected). Finally, we have proven that a certain Dirichlet problem for the Fatou domain in our case has a unique solution.
Keywords: Julia set; Hyperbolic rational functions; Martin boundary; Markov chain; Entropy; Gibbs measure; Measure of maximal entropy; Dirichlet problem; Julia set; Hyperbolic rational functions; Martin boundary; Markov chain; Entropy; Gibbs measure; Measure of maximal entropy; Dirichlet problem
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Die Julia-Menge der Klasse hyperbolischer rationaler Abbildungen, deren Julia-Menge vollständig unzusammenhängend ist, wird hier identifiziert als die Martin-Grenze (Martin boundary) einer Markovkette durch die Anwendung der Theorie symbolischer Dynamik. Diese Beziehung ermöglicht es, einige thermodynamische Konzepte, wie Entropie, Maß der maximalen Entropie, des Gibbs-Maßes und des Gleichgewichtmaßes, auf potenzialtheoretische Konzepte wie Kapazität und harmonische Maße auf der Julia Menge, auf der eine geeignete Potenzialfunktion definiert ist, zu beziehen. Wir haben hier z.B. das Maß der maximalen Entropie für eine rationale Abbildung auf der Julia Menge identifiziert; es ist einfach das Bildmaß eines bestimmten Bernoulli-Maßes auf dem Schiebungsraum (shift space). Wir haben weiter bewiesen, dass das harmonische Maß auf der Julia-Menge das Bildmaß eines nicht-atomaren, quasi-invarianten, konservativen Maßes auf dem einseitigen Schiebungsraum ist. Wir haben gezeigt, dass dieses quasi-invariante Maß ein Gibbs-Maß darstellt und es mit einem Bernoulli-Maß äquivalent ist. Durch Anwendung des Ruelle-Perron-Frobenius Satzes haben wir abgeleitet, dass das Gibbs-Maß zur Definition eines eindeutigen, gegenüber Verschiebung invarianten, Gleichgewichtsmaßes herangezogen werden kann. Wir haben weiter bewiesen, dass das Gleichgewichtmaß für das logarithmische Potenzial und das klassische harmonische Maß in unserem Fall übereinstimmen. Schließlich haben wir gezeigt, dass ein bestimmtes Dirichlet-Problem für das Fatou-Menge in unserem Fall eine eindeutige Lösung besitzt.