Julia Set as a Martin Boundary

Abstract

Die Julia-Menge der Klasse hyperbolischer rationaler Abbildungen, deren Julia-Menge vollständig unzusammenhängend ist, wird hier identifiziert als die Martin-Grenze (Martin boundary) einer Markovkette durch die Anwendung der Theorie symbolischer Dynamik. Diese Beziehung ermöglicht es, einige thermodynamische Konzepte, wie Entropie, Maß der maximalen Entropie, des Gibbs-Maßes und des Gleichgewichtmaßes, auf potenzialtheoretische Konzepte wie Kapazität und harmonische Maße auf der Julia Menge, auf der eine geeignete Potenzialfunktion definiert ist, zu beziehen. Wir haben hier z.B. das Maß der maximalen Entropie für eine rationale Abbildung auf der Julia Menge identifiziert; es ist einfach das Bildmaß eines bestimmten Bernoulli-Maßes auf dem Schiebungsraum (shift space). Wir haben weiter bewiesen, dass das harmonische Maß auf der Julia-Menge das Bildmaß eines nicht-atomaren, quasi-invarianten, konservativen Maßes auf dem einseitigen Schiebungsraum ist. Wir haben gezeigt, dass dieses quasi-invariante Maß ein Gibbs-Maß darstellt und es mit einem Bernoulli-Maß äquivalent ist. Durch Anwendung des Ruelle-Perron-Frobenius Satzes haben wir abgeleitet, dass das Gibbs-Maß zur Definition eines eindeutigen, gegenüber Verschiebung invarianten, Gleichgewichtsmaßes herangezogen werden kann. Wir haben weiter bewiesen, dass das Gleichgewichtmaß für das logarithmische Potenzial und das klassische harmonische Maß in unserem Fall übereinstimmen. Schließlich haben wir gezeigt, dass ein bestimmtes Dirichlet-Problem für das Fatou-Menge in unserem Fall eine eindeutige Lösung besitzt.