On the Stability of Julia Sets of Functions having Baker Domains

Abstract

Wir studieren das Verhalten von Juliamengen bei Störung der zugrundeliegenden Funktionen. Dabei konzentrieren wir uns auf Funktionen, deren Fatoumengen Bakergebiete enthalten. Im ersten Kapitel untersuchen wir eine parametrisierte Familie solcher Funktionen, Hauptresult ist die Existenz einer sogenannten Mandelbrotkopie in der Parameterebene. Dieses Resultat wird benutzt, um bei einer ähnlichen Familie die Existenz von unendlich vielen solcher Mandelbrotkopien nachzuweisen. Ein weiterer Abschnitt beschäftigt sich mit der Konvergenz von Juliamengen von Polynomfolgen gegen die Juliamenge einer transzendenten Grenzfunktion. Hier geben wir eine ganze Klasse von Grenzfunktionen, für die es konvergierende Polynomfolgen sowohl mit nicht konvergierenden als auch mit konvergierenden Juliamengen gibt. Die Ergebnisse sind vergleichbar mit Resultaten zur parabolischen Implosion. Schließlich betrachten wir wieder eine parametrisierte Familie von transzendenten Funktion, von denen aber nicht alle Bakergebiete besitzen. Wir untersuchen die Prozesse an den Parametern, an denen Bakergebiete "entstehen".