Persistence in discrete Morse theory
Persistenz in der diskreten Morse-Theorie
by Ulrich Bauer
Date of Examination:2011-05-12
Date of issue:2011-07-15
Advisor:Prof. Dr. Max Wardetzky
Referee:Prof. Dr. Max Wardetzky
Referee:Prof. Dr. Robert Schaback
Referee:Prof. Dr. Herbert Edelsbrunner
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2536
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
The goal of this thesis is to bring together two different theories about critical points of a scalar function and their relation to topology: Discrete Morse theory and Persistent homology. While the goals and fundamental techniques are different, there are certain themes appearing in both theories that closely resemble each other. In certain cases, the two threads can be joined, leading to new insights beyond the classical realm of one particular theory.Discrete Morse theory provides combinatorial equivalents of several core concepts of classical Morse theory, such as discrete Morse functions, discrete gradient vector fields, critical points, and a cancelation theorem for the elimination of critical points of a vector field. Because of its simplicity, it not only maintains the intuition of the classical theory but allows to surpass it in a certain sense by providing explicit and canonical constructions that would become quite complicated in the smooth setting.Persistent homology quantifies topological features of a function. It defines the birth and death of homology classes at critical points, identifies pairs of these (persistence pairs), and provides a quantitative notion of their stability (persistence).Whereas (discrete) Morse theory makes statements about the homotopy type of the sublevel sets of a function, persistence is concerned with their homology. While homology is an invariant of homotopy equivalences, the converse is not true: not every map inducing an isomorphism in homology is a homotopy equivalence. In this thesis we establish a connection between both theories and use this combination to solve problems that are not easily accessibly by any single theory alone. In particular, we solve the problem of minimizing the number of critical points of a function on a surface within a certain tolerance from a given input function.
Keywords: Discrete Morse theory; persistent homology; topological denoising
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Das Ziel dieser Arbeit ist die Zusammenführung zweier Theorien bezüglich der kritischen Punkte einer reellwertigen Funktion und deren Verbindung zur Topologie: diskrete Morse-Theorie und persistente Homologie. Während die Ziele und grundlegenden Techniken sich unterscheiden, gibt es gewisse Ähnlichkeiten zwischen beiden Theorien. In bestimmten Fällen lassen sich die beiden Stränge zusammenführen und neue Einsichten erzielen, die über die jeweiligen einzelnen Theorien hinausgehen.Die diskrete Morse-Theorie liefert kombinatorische Versionen verschiedener Grundbegriffe der klassischen Morse-Theorie, wie diskrete Morse-Funktionen, diskrete Gradientenfelder, kritische Punkte, sowie einen Satz über die Auslöschung kritischer Punkte eines Vektorfelds. Aufgrund ihrer Einfachheit erhält sie nicht nur die Intuition der klassischen Theorie, sondern geht in einem gewissen Sinne darüber hinaus, indem sie explizite und kanonische Konstruktionen erlaubt, die in der glatten Theorie wesentlich schwieriger umzusetzen wären.Persistente Homologie quantifiziert topologische Merkmale einer Funktion. Sie bestimmt das Entstehen und Verschwinden von Homologieklassen an kritischen Punkten, identifiziert Paare kritischer Punkte (Persistenzpaare) und liefert einen quantitativen Begriff von deren Stabilität (Persistenz).Die (diskrete) Morse-Theorie trifft Aussagen über den Homotopietyp der Subniveaumengen einer Funktion, wohingegen Persistenz deren Homologie betrachtet. Während Homologie eine Invariante unter Homotopieäquivalenz ist, trifft die Umkehrung nicht zu: nicht jede Abbildung, die einen Isomorphismus der Homologie induziert, ist auch eine Homotopieäquivalenz. In dieser Arbeit wird eine Verbindung zwischen beiden Theorien geschaffen, die dazu verwendet wird, Probleme zu lösen, die von jeder einzelnen der beiden Theorien nicht direkt zu erreichen sind. Insbesondere wird das Problem gelöst, innerhalb einer bestimmten Toleranz zu einer gegebenen Eingabefunktion auf einer Fläche die Anzahl kritischer Punkte zu minimieren.
Schlagwörter: Diskrete Morse-Theorie; persistente Homologie; topologisches Entrauschen