Field and Shape Reconstruction in Fluid Dynamics

Abstract

Inverse Probleme beschäftigen sich mit der Rekonstruktion von Größen aus Fernerkundungsdaten. Inverse Strömungsmechanik ist wichtig für viele Anwendungen, zum Beispiel um den Zustand der Atmosphäre aus Messungen an der Oberfläche des Planeten und mit Hilfe weiterer Fernerkundungstechniken zu bestimmen. Hier untersuchen wir die Rekonstruktion einer Strömung und die Gestaltsrekonstruktion von Inklusionen in dieser Strömung aus Randwertmessungen. Als Modellproblem betrachten wir die Oseen Gleichung, die durch eine Linearisierung der Navier-Stokes Gleichungen entsteht.In einem ersten Schritt entwickeln wir eine Punktquellenmethode für die Rekonstruktion der Strömung aus Fernerkundungsdaten. Im Unterschied zu Feldrekonstruktionen in der Akustik oder Elektromagnetik brauchen wir hier einen etwas anderen Ansatz, da die Grundlösung der Oseen Gleichung nicht symmetrisch oder Antisymmetrisch in ihren Argumenten ist; Ferner sind die Nullräume der Operatoren nicht-trivial, so dass die zugehörige Konvergenzanalysis der Punktquellenmethode einige Schwierigkeiten bietet.Weiter erweitern wir unsere Untersuchungen auf Tests zur analytischen Fortsetzbarkeit in der Strömungsmechanik für inverse Flußprobleme. Wir studieren und analysieren drei verschiedene Methoden für die analytische Fortsetzung, den Range Test, den No Response Test und einen Konvergenztest. Wir zeigen die Konvergenz dieser Methoden in ihrer Anwendung auf die Oseen Gleichung. Insbesondere entwickeln wir eine neue Beweistechnik um die Konvergenz des No Response Tests zu beweisen. Es wird ferner eine starke Verwandschaft zwischen dem Konvergenztest und dem No Response Test nachgewisen. Eine numerische Demonstration der Punktquellenmethode und des Konvergenz Tests wird präsentiert, um die Eigenschaften dieser Methoden zu zeigen. Um die Rekonstruktionen durchzuführen haben wir entweder "Domain Sampling" oder das LASSO Schema genutzt zur Ermittlung der Strömungsfelder und der Gestalt unbekannter Einschlüsse.Eine numerische Demonstration der Punktquellenmethode und des Konvergenz Tests wird präsentiert, um die Eigenschaften dieser Methoden zu zeigen. Um die Rekonstruktionen durchzuführen haben wir entweder "Domain Sampling" oder das LASSO Schema genutzt zur Ermittlung der Strömungsfelder und der Gestalt unbekannter Einschlüsse.