Noncommutative manifolds and Seiberg-Witten-equations

Abstract

In dieser Dissertation wird die Differenzialgeometrie der nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten studiert. Es wird ein axiomatischer Zugang dargestellt, der auf der Poincaré-Dualität basiert; es wird die Theorie der Differentialformen und Sobolev-Räume auf nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten aufgestellt. Wir führen Bedingungen ein, unter den die nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten gutartigen Differenzialkalkül und Sobolev-Theorie haben. Außerdem untersuchen wir die Eigenschaften des Laplace-Operators auf Differenzialformen und beweisen, dass er in gewissen Fällen kompakte Resolvente hat, ähnlich zur kommutativen Situation. Dies erlaubt uns, die Fragen über den Vergleich der "de Rham-Kohomologie" und periodischer zyklischer Kohomologie aufzustellen und zu untersuchen.Im zweiten Teil der Dissertation wird ein Analogon der Seiberg-Witten-Gleichungen für nichtkommutative Mannigfaltigkeiten aufgestellt. Es wird bewiesen, dass die bekannten Eigenschaften der Seiberg Witten-Eichtheorie auch im nichtkommutativen Fall erhalten bleiben; beispielsweise, stimmen die Moduliräume der glatten Lösungen mit den Moduliräumen der Sobolev-Lösungen für große Sobolev-Parameter überein, solange die nichtkommutative Mannigfaltigkeit eine gutartige Sobolevtheorie hat. Außerdem wird eine holomorphe Beschreibung des Moduliraumes für torische Deformationen der Kähler-Mannigfaltigkeiten hergeleitet, die uns erlaubt, die Moduliräume für eine Familie von solchen deformierten Mannigfaltigkeiten zu bestimmen, wo die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit konstante Skalarkrümmung hat.