Symmetric Squaring in Homology and Bordism
Symmetrisches Quadrieren in Homologie und Bordismus
by Seyide Denise Krempasky née Nakiboğlu
Date of Examination:2011-08-25
Date of issue:2011-11-10
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Ralf Meyer
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2551
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
Looking at the cartesian product X × X of a topological space X with itself, a natural map to be considered on that object is the involution that interchanges the coordinates, i.e. that maps (x, y) to (y, x). The so-called symmetric squaring construction in Čech homology with Z/2-coefficients was introduced by Schick et al. 2007 as a map from the k-th Čech homology group of a space X to the 2k-th Čech homology group of X × X divided by the above mentioned involution. It turns out to be a crucial construction in the proof of a parametrised Borsuk-Ulam Theorem.The symmetric squaring construction can be generalized to give a map in bordism, which will be the main topic of this thesis. More precisely, it will be shown that there is a well-defined, natural map from the k-th singular bordism group of X to the 2k-th bordism group of X × X divided by the involution as above.Moreover, this squaring really is a generalisation of the Čech homology case since it is compatible with the passage from bordism to homology via the fundamental class homomorphism. On the way to this result, the concept of Čech bordism is first defined as a combination of bordism and Čech homology and then compared to Čech homology.
Keywords: algebraic topology; homology theory; bordism; Čech homology
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Betrachtet man das kartesische Produkt X × X eines topologischen Raumes X mit sich selbst, so kann auf diesem Objekt insbesondere die Involution betrachtet werden, die die Koordinaten vertauscht, die also (x,y) auf (y,x) abbildet. Das sogenannte 'Symmetrische Quadrieren' in Čech-Homologie mit Z/2-coefficients wurde von Schick et al. 2007 als Abbildung von der k-ten Čech-Homologiegruppe eines Raumes X in die 2k-te Čech-Homologiegruppe von X × X modulu der oben genannten Involution definiert. Es stellt sich heraus, dass diese Konstruktion entscheidend ist für den Beweis eines parametrisierten Borsuk-Ulam-Theorems.Das Symmetrische Quadrieren kann zu einer Abbildung in Bordismus verallgemeinert werden, was der Hauptgegenstand dieser Dissertation ist. Genauer gesagt werden wir zeigen, dass es eine wohldefinierte, natürliche Abbildung von der k-ten singulären Bordismusgruppe von X in die 2k-te Bordismusgruppe von X × X modulu der obigen Involution gibt.Insbesondere ist dieses Quadrieren wirklich eine Verallgemeinerung der Konstruktion in Čech-Homologie, denn es ist vertauschbar mit dem Übergang von Bordismus zu Homologie via dem Fundamentalklassenhomomorphismus. Auf dem Weg zu diesem Resultat wird das Konzept des Čech-Bordismus als Kombination aus Bordismus und Čech-Homologie zunächst definiert und dann mit Čech-Homologie verglichen.
Schlagwörter: Algebraische Topologie; Homologietheorie; Bordismus; Čech homology
