The Index Bundle for Gap-Continuous Families, Morse-Type Index Theorems and Bifurcation

Das Indexbündel für Graphenstetige Familien, Morseartige Indexsätze und Bifurkation

by Nils Waterstraat
Doctoral thesis
Date of Examination:2011-10-31
Date of issue:2011-11-21
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Ralf Meyer
Referee:Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2552

 

 

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Description:Dissertation

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Abstract

English

We generalise the well known index bundle construction of Atiyah and Jänich to families of (generally unbounded) Fredholm operators which are assumed to be continuous with respect to the gap topology. The special case of selfadjoint operators is particularly studied and the connection with the so called spectral flow is discussed. We use this construction in order to state and prove an index theorem for certain families of ordinary differential operators. This result contains as special case the semi-Riemannian Morse index theorem as obtained by Musso, Pejsachowicz and Portaluri in 2005. Finally, we consider nonlinear perturbations of families of Fredholm operators and show that the index bundle can be used to investigate bifurcation points from a given branch of trivial solutions.
Keywords: index bundle; gap topology; spectral flow; Morse index theorem; K-theoretic methods in bifurcation theory

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Wir verallgemeinern die bekannte Konstruktion des Indexbündels von Atiyah und Jänich auf Familien (im Allgemeinen unbeschränkter) Fredholmoperatoren, die als stetig bezüglich der Graphentopologie vorausgesetzt werden. Insbesondere wird der Spezialfall selbstadjungierter Operatoren untersucht und der Zusammenhang mit dem sogenannten Spektralfluss erörtert. Wir verwenden diese Konstruktion um einen Indexsatz für gewisse Familien gewöhnlicher Differentialoperatoren darzulegen und zu beweisen. Dieses Resultat beinhaltet als Spezialfall den 2005 von Musso, Pejsachowicz und Portaluri erhaltenen semi-Riemannschen Morse Index Satz. Abschließend betrachten wir nichtlineare Störungen von Familien von Fredholmoperatoren und zeigen, dass das Indexbündel verwendet werden kann, um Verzweigungspunkte von einem gegebenen Zweig trivialer Lösungen zu untersuchen.
Schlagwörter: Indexbündel; Graphentopologie; Spektralfluss; Morse Indexsatz; K-theoretische Methoden der Bifurkationstheorie
 
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