Theory and Numerics for Shape Optimization in Superconductivity

Abstract

Wir betrachten ein mathematisches Modell eines dünnen, supraleitenden Films, der durch Permanentmagneten magnetisch abgeschirmt ist, um die Stromtragfähigkeit des Films zu erhöhen. In einem ersten Teil studieren wir das Verhalten des magnetischen Felds in dem kombinierten System, welches durch ein Randwertproblem zur Laplacegleichung für das quasi-skalare magnetische Potential charakterisiert wird. In einem zweiten Teil formulieren und analysieren wir ein verwandtes geometrisches Optimierungsproblem. Dieses kann als Homogenisierung der Stromverteilung des supraleitenden Films durch Formoptimierung der Ränder der Magneten interpretiert werden.Im ersten Teil stellen wir eine auf Randintegralgleichungen basierende Lösungstheorie für das Randwertproblem vor. Die theoretischen Untersuchungen werden durch ein numerisches Verfahren ergänzt, für welches wir unter entsprechenden Glattheitsannahmen an die Geometrie exponentielle Konvergenzraten beweisen. Der Nachweis der differenzierbaren Abhängigkeit der Stromverteilung von der Geometrie bildet das zentrale Resultat des zweiten Teils, welches auch als Grundlage für ein abstraktes Existenzresultat für das Optimierungsproblem dient. Zudem bildet die Differenzierbarkeit den Ausgangspunkt für zwei numerische Verfahren zur Umsetzung des geometrischen Optimierungsproblems. Das erste Verfahren beruht auf der Kenntnis von expliziten Randparametrisierungen und führt zu einem Verfahren des Steilsten Abstiegs. Der zweite Ansatz benutzt Level Set Methoden, welche auf einer impliziten Randdarstellung basieren. Beide Verfahren werden an einer Reihe von Beispielen illustriert.