Random Iterations of Subhyperbolic Relaxed Newton's Methods

Abstract

Durch die natürlichen Iterationen des subhyperbolischen Eulerschen Verfahrens eines komlexen Polynoms wird die Riemannsche Kugel in zwei von einander getrennte Mengen geteilt: die nicht leere, perfekte, nirgendwo dichte, zusammenhängende und lokal zusammenhängende Juliamenge mit dem Lebesgue-Mass Null, und die offene Fatoumenge, die aus stabilen einfach zusammenhängenden Gebieten besteht. Betrachtet man allerdings zufällige Iterationen Eulerscher Verfahren komlexer Polynome als eine mögliche Störung des Standard-Verfahrens, stellt sich die Frage, wie weit sich die Dynamik des klassischen Verfahrens auf die des zufälligen übertragen lässt. Im Rahmen dieser Arbeit zeigen wir zuerst, dass die Fatoumenge einer Familie zufälliger Iterationen Eulerscher Verfahren von Polynomen, die sich in einer kleinen Umgebung eines fixen Polynoms mit einem subhyperbolischen Eulerschen Verfahren befinden, aus nicht-wandernden zusammenhängenden Gebieten besteht, und die entsprechende Juliamenge nicht leer, perfekt und nirgendwo dicht ist.Im nächsten Schritt betrachten wir Familien zufälliger Iterationen Eulerscher Verfahren von Polynomen, die gegen ein fixes Polynom mit einem subhyperbolischen Eulerschen Verfahren konvergieren. Wir zeigen, dass die Fatoumenge solcher Familien aus einfach zusammenhängenden, kontraktierenden Gebieten besteht, und deren Juliamenge ausserdem zusammenhängend und lokal zusamenhängend ist und das Lebesgue-Mass Null hat.Zuletzt wenden wir die Methoden der vorhergehenden Kapitel auf den Fall an, wo das Eulersche Verfahren des gegebenen Polynoms nicht mehr subhyperbolisch ist, indem es mindestens einen parabolischen periodischen Punkt hat. Anhand der quasikonformen Chirurgie ziegen wir, wie die Leauschen Gebiete des periodischen Punktes mittels zufälliger Iterationen bestimmter subhyperbolischer Eulerscher Verfahren, die gegen das Eulersche Verfahren des Polynoms konvergieren, approximiert werden können.