Finite-element simulation of buoyancy-driven turbulent flows

Abstract

Turbulente Strömungen, die durch Auftriebskräfte getrieben oder wesentlich beeinflußt werden, treten in einer Vielzahl von Problemen auf, Gebäudeventilation, Kühlung elektrischer Geräte und Umweltprobleme eingeschlossen. Das zugrundeliegende mathematische Modell sind die nichtisothermen inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen. Deren Lösung kann turbulent (und damit mittels Computern praktisch unberechenbar) werden, falls ein kritischer Parameter, z.B., die Reynoldszahl oder die Rayleighzahl, zu groß wird. Das Ziel der Turbulenzmodellierung ist es, mathematische Modelle zu entwickeln, deren Lösung nahe an denen der Navier-Stokes Gleichungen liegt, aber die zu vernünftigen Kosten berechenbar ist.In dieser Arbeit werden sowohl statistische Turbulenzmodelle, d.h., das k-epsilon Turbulenzmodell, als auch drei LES Modelle, nämlich das Smagorinsky Modell, das Iliescu-Layton Modell (beide mit einer Modifikation von Eidson) und das Galdi-Layton Modell betrachtet. Nahe fester Wände zeigt die Lösung oft steile Gradienten, genannt Grenzschichten. Eine ausreichende Gitterverfeinerung nahe Wänden ist oft vom Rechenaufwand her unmöglich, besonders bei den meisten 3D Problemen von praktischer Bedeutung. Als Ausweg wird ein verbessertes Wandfunktionskonzept angewendet. Dieser Zugang kann als vollständig-überlappendes Gebietszerlegungsverfahren aufgefaßt werden: Das Strömungsproblem wird in ein globales Problem und in ein Problem in der Umgebung fester Wände, genannt Grenzschichtproblem, zerlegt. Die Lösung des Grenzschichtproblems erfüllt die richtigen Randbedingungen an der Wand für Geschwindigkeit und Temperatur und wird stetig mit der globalen Lösung auf einem künstlichen inneren Rand verheftet. Für das globale Problem werden modifizierte Randbedingungen gestellt, z.B. für die Tangentialspannungen und den Wärmestrom über die Wand, wobei die rechten Seiten durch die Grenzschichtlösung bestimmt werden. Dieser Zugang umfaßt eine Vielzahl von Kopplungsschemata, abhängig vom Grenzschichtproblem und von den Randbedingungen des globalen Problems. Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung können gezeigt werden für spezielles Kopplungsschema mit LES als globalem Modell und den Navier-Stokes Gleichungen in Wandnähe. Um die Rechenkosten zu reduzieren und die Implementation zu vereinfachen, wird ein wesentlich einfacheres Modell für den wandnahen Bereich abgeleitet.Dieser Zugang kann als ein verbessertes Wandfunktionsmodell formuliert werden, der Effekte der Temperaturschichtung in der Grenzschicht berücksichtigt. Der iterative Lösungsprozeß erfordert die schnelle Lösung von linearisierten Navier-Stokes-Problemen und Konvektions-Diffusions-Reaktionsproblemen. Diese Teilprobleme werden mit einer stabilisierten FEM diskretisiert. Um das Verfahren zu parallelisieren, wird ein nicht-überlappendes Gebietszerlegungsverfahren angewendet. Abschließend wird die Genauigkeit des Zugangs untersucht. Als Benchmark-Testproblem wird die natürliche Konvektionsströmung in einem luftgefüllten, geschlossenen, quadratischen Hohlraum mit unterschiedlich beheizten Seitenwänden untersucht. Die numerischen Resultate werden mit experimentellen Daten verglichen.