Estimation Problems Related to Random Matrix Ensembles
Schätzprobleme für Ensembles zufälliger Matrizen
by Rada Matić
Date of Examination:2006-07-06
Date of issue:2006-08-03
Advisor:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:Prof. Dr. Mikhail Gordin
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2510
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
Statistical estimation theory for certain classes of random matrix ensembles is developed. We give a brief historical overview of random matrix theory, state some existing theoretical results and derive exact and asymptotical distributions of the sufficient statistics for β-Hermite, β-Laguerre, β-Jacobi and Cauchy unitary ensemble. Furthermore, properties of the maximum likelihood estimators of model parameters are examined. Two discrete orthogonal polynomial ensembles (the Krawtchouk and Charlier ensemble) have been considered, and the maximum likelihood estimators of their parameters were obtained in closed form. We generalize Dyson`s circular unitary ensemble, and analyze the properties of the sufficient statistic and asymptotic maximum likelihood estimator for the generalized circular unitary ensemble. This was followed by the discussion of the third--order phase transition model of Gross and Witten.
Keywords: random matrix ensemble; eigenvalue distribution; exponential families; maximum likelihood estimation; asymptotic efficiency; Toeplitz determinant
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Es wird eine statistische Schätztheorie einiger Klassen von Ensembles zufälliger Matrizen entwickelt. Nach einem kurzen historischen Abriss der Theorie zufälliger Matrizen und der Erläuterung einiger bekannter theoretischer Resultate, werden die asymptotischen Verteilungen der suffizienten Statistik des β-Hermite, des β-Laguerre, des β-Jacobi und des Cauchy unitären Ensembles bestimmt. Im weiteren werden die Eigenschaften des Maximum Likelihood Schätzers der Modellparameter untersucht. Zwei Ensembles aus der Familie der diskreten orthogonalen Polynome (Krawtchouk und Charlier Ensembles) werden ebenfalls betrachtet, und der Maximum Likelihood Schätzer ihrer Parameter kann in geschlossener Form angegeben werden. Dysons zirkuläres unitäres Ensemble wird verallgemeinert, und die asymptotischen Eigenschaften der suffizienten Statistik und des Maximum Likelihood Schätzers werden für das verallgemeinerte zirkuläre unitäre Ensemble untersucht. Abschliess end wird der Phasenübergang dritter Ordnung im Modell von Gross und Witten diskutiert.
Schlagwörter: Ensemble zufälliger Matrizen; Eigenwertvertielung; exponentielle Familie; Maximum Likelihood Schätzer; asymptotische Effizienz; Toeplitz determinant