Der elastisch aufgehängte starre Körper
The elastic suspended rigid body
by Henning Dathe
Date of Examination:2001-05-02
Date of issue:2002-04-23
Advisor:Prof. Dr. Hans Nägerl
Referee:Prof. Dr. Hans Nägerl
Referee:Prof. Dr. Gerhard C. Hegerfeldt
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Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
The aim of this work is to find a mathematical description of displacements of synarthroses due to applied loads. Synarthroses are special joints without a joint cavity, with which two bones are adherently and continuously connected by tissue. One example is the periodontal ligament of human teeth. This description serves as theoretical background for understanding results of measurements.Since bones are much stiffer than their connecting tissues, the simplest model of such a joint is the elastic suspended rigid body with its six degrees of freedom. Together with a linearization of the position changes, these simplifications permit an analytic description. The work consists of three main parts.Firstly, a coordinate-invariant description of the statics of a rigidly bounded elastic structure is developed. The stiffness matrix of such a structure contains information about unique coordinate systems for loads and displacements of the moved body. An euclidean transformation to these coordinate systems standardizes the stiffness matrix. For a symmetrical stiffness matrix the distinguished coordinate systems of loads and displacements have a common origin which serves as an unique point of reference and is named center of elasticity.Secondly, a method for calculating stiffness matrices for thin elastic layers between two rigid bounds is presented. Such suspensions serve as simple model of a synarthrosis, especially of the periodontal ligament. Using classical differential geometry of surfaces as well as representations of symmetrical tensors, both analytical and numerical results are possible.Finally, it is shown, that - by means of the preceding standardization of stiffness matrices - the comparision of measurements and predictions of different authors leads to new conclusions. Examples from biomechanics are used to demonstrate the efficiency of the formalism. If comparable stiffness matrices are used, the method of this work can be applied to respective problems in technical mechanics.
Keywords: Generalized stiffness matrix; center of elasticity; normal form; synarthroses PDL
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Ziel dieser Arbeit ist es, eine mathematische Beschreibung der Lageänderungen von Synarthrosen unter angelegten Lasten zu finden. Synarthrosen sind spezielle Gelenke ohne Gelenkhöhle, bei denen zwei Knochen haftend und kontinuierlich durch Gewebe miteinander verbunden sind, so zum Beispiel das Periodont menschlicher Zähne. Diese Beschreibung dient als theoretischer Hintergrund zum Verständnis von Meßergebnissen.Da Knochen viel steifer als die sie verbindenden Gewebe sind, wird als das einfachste Modell eines solchen Gelenkes der starre Körper im Raum mit seinen sechs Freiheitsgraden verwandt. Zusammen mit einer Linearisierung der Lageänderungen erlauben diese Vereinfachungen eine analytische Beschreibungsweise. Die Arbeit enthält drei Hauptteile.Der erste Teil ist eine koordinaten-invariante Beschreibung der Statik einer starr berandeten elastischen Struktur. Die Steifheitsmatrix einer solchen Struktur selbst enthält Informationen über eindeutig ausgezeichnete Koordinatensysteme für Lasten und Lageänderungen des bewegten Körpers. Eine euklidische Transformation auf diese Koordinatensysteme standardisiert die Steifheitsmatrix. Für eine symmetrische Steifheitsmatrix haben die ausgezeichneten Koordinatensysteme der Lasten und Lagen einen gemeinsamen Ursprung, der als eindeutiger Bezugspunkt dient und Elastisches Zentrum benannt wird.Der zweite Teil enthält eine Methode zum Berechnen von Steifheitsmatrizen für dünne elastische Schichten zwischen zwei starren Berandungen. Solche Aufhängungen dienen als vereinfachtes Modell einer Synarthrose, speziell des Periodonts. Mittels klassischer Differentialgeometrie von Oberflächen und Darstellungen symmetrischer Tensoren sind sowohl analytische als auch numerische Resultate möglich.Im dritten Hauptteil wird gezeigt, daß - unter Verwendung der vorangegangenen Standardisierung der Steifheitsmatrizen - der Vergleich von Messungen und Vorhersagen verschiedener Autoren neue Schlußfolgerungen erlaubt. An Beispielen aus der Biomechanik wird die Leistungsfähigkeit des Formalismus demonstriert. Werden vergleichbare Steifheitsmatrizen verwendet, so läßt sich die Methode dieser Arbeit auf entsprechende Probleme der technischen Mechanik anwenden.
Schlagwörter: Verallgemeinerte Steifheitsmatrix; Elastisches Zentrum; Normalform; Synarthrose; Periodont