Der elastisch aufgehängte starre Körper

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist es, eine mathematische Beschreibung der Lageänderungen von Synarthrosen unter angelegten Lasten zu finden. Synarthrosen sind spezielle Gelenke ohne Gelenkhöhle, bei denen zwei Knochen haftend und kontinuierlich durch Gewebe miteinander verbunden sind, so zum Beispiel das Periodont menschlicher Zähne. Diese Beschreibung dient als theoretischer Hintergrund zum Verständnis von Meßergebnissen.Da Knochen viel steifer als die sie verbindenden Gewebe sind, wird als das einfachste Modell eines solchen Gelenkes der starre Körper im Raum mit seinen sechs Freiheitsgraden verwandt. Zusammen mit einer Linearisierung der Lageänderungen erlauben diese Vereinfachungen eine analytische Beschreibungsweise. Die Arbeit enthält drei Hauptteile.Der erste Teil ist eine koordinaten-invariante Beschreibung der Statik einer starr berandeten elastischen Struktur. Die Steifheitsmatrix einer solchen Struktur selbst enthält Informationen über eindeutig ausgezeichnete Koordinatensysteme für Lasten und Lageänderungen des bewegten Körpers. Eine euklidische Transformation auf diese Koordinatensysteme standardisiert die Steifheitsmatrix. Für eine symmetrische Steifheitsmatrix haben die ausgezeichneten Koordinatensysteme der Lasten und Lagen einen gemeinsamen Ursprung, der als eindeutiger Bezugspunkt dient und Elastisches Zentrum benannt wird.Der zweite Teil enthält eine Methode zum Berechnen von Steifheitsmatrizen für dünne elastische Schichten zwischen zwei starren Berandungen. Solche Aufhängungen dienen als vereinfachtes Modell einer Synarthrose, speziell des Periodonts. Mittels klassischer Differentialgeometrie von Oberflächen und Darstellungen symmetrischer Tensoren sind sowohl analytische als auch numerische Resultate möglich.Im dritten Hauptteil wird gezeigt, daß - unter Verwendung der vorangegangenen Standardisierung der Steifheitsmatrizen - der Vergleich von Messungen und Vorhersagen verschiedener Autoren neue Schlußfolgerungen erlaubt. An Beispielen aus der Biomechanik wird die Leistungsfähigkeit des Formalismus demonstriert. Werden vergleichbare Steifheitsmatrizen verwendet, so läßt sich die Methode dieser Arbeit auf entsprechende Probleme der technischen Mechanik anwenden.