Directed Chaos in Magnetic Billiard Systems

Abstract

Diese Dissertation behandelt verschiedene Aspekte gerichteten chaotischen Transports im Kontext von quasi-eindimensionalen Billiardketten in Gegenwart eines senkrecht zur Ebene des Systems stehenden Magnetfelds. Alle Teilchen (Elektronen) werden als klassische Objekte ohne jegliche Wechselwirkung betrachtet. Im Besonderen wird gezeigt, dass mit geeigneten Parametern ein solches System gerichtetes Chaos aufweisen kann obwohl es sich im Gleichgewicht befindet. Wir konnten zum erstem Mal eine Summenregel anwenden, die ursprünglich in getriebenen Hamiltonschen Systemen benutzt wurde (gerichtetes Chaos unterstützend), und einen expliziten Ausdruck für die mittlere Chaotische Transportgeschwindigkeit im Kanal aufstellen. Außerdem wird gezeigt, dass die Dispersionsrelation für unser System diffusiver Natur ist und unter bestimmten Umständen langreichweitige Effekte zu beobachten sind, die durch geeignete Änderungrungen am Rand des Systems verhindert werden können. Es gibt eine Vielzahl von Untersuchungen auf dem Gebiet des Leitwerts in Nanodrähten basierend auf Arbeiten von Landauer. Dabei zeigt sich ein Zusammenhang zwischen dem Leitwert und den Transmissionseigenschaften des Systems. Mit zunehmendem technologischen Fortschritt wird man besser in der Lage sein, die Eigenschaften eines Drahtes auf nano-Ebene zu kontrollieren. Motiviert durch diese Anwendungen zeigen wir, dass der Leitwert im Falle einer unendlichen Billiardkette mit einer einzigen diffusiven Randbedingung (und ansonsten mit Spiegelreflexionen) nicht gegen Null geht, sondern gegen eine endliche Konstante. Eine Besonderheit des Systems ist, dass diese endliche Konstante nicht von den Eigenschaften der zugrundeliegenden chaotischen Dynamik abhängt, sondern ein neuartiges Konstrukt einer regulären Phasenraumstruktur darstellt. Dies steht in starkem Widerspruch zum Ohmschen Gesetz einerseits und auch zu universellen Leitwertfluktuationen, welche gegen Null gehen im Grenzübergang eines unendlich langen Drahtes. Unter Verwendung zweier verschiedener probabilistischer Modelle zeigen wir, dass der Leitwert der chaotischen Trajektorien als Funktion der Länge des Drahtes exponentiell auf einen endlichen Wert abfällt. Dieser endliche Wert ist eine Folge der gerichteten Bewegung chaotischer Trajektorien. Schließlich wird die Charakteristik der Verzögerungszeit im Falle eines endlichen Systems diskutiert und gezeigt, dass das gerichtete Verhalten chaotischer Trajektorien in der Verteilung der Verzögerungszeiten der Transmission auftritt. Hingegen divergieren die Verzögerungszeiten chaotischer Trajektorien im regulären Fall. Im Gegensatz dazu weist die Verteilung der Verzögerungszeit reflektierter Trajektorien universelles algebraisches Verhalten bei langen Zeiten auf.