Scale-free Fluctuations in in Bose-Einstein Condensates, Quantum Dots and Music Rhythms
Skalenfreie Fluktuationen in Bose-Einstein Kondensaten, Quantenpunkten und Musikrhythmen
von Holger Hennig
Datum der mündl. Prüfung:2009-05-27
Erschienen:2010-05-25
Betreuer:Prof. Dr. Theo Geisel
Gutachter:Prof. Dr. Kurt Schönhammer
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Name:hennig.pdf
Size:4.83Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
Mesoscopic systems are prone to substantial fluctuations that typically can not be neglected or avoided. The understanding of the origin and the consequences of these fluctuations (e.g.~for transport measurements) is thus a fundamental part of the theory of mesoscopic systems. We will encounter scale-free fluctuations in different kinds of complex nonlinear systems in this thesis, which consists of two main parts. The first part deals with Bose-Einstein condensates (BECs) in leaking optical lattices. Experimentalists have achieved an extraordinary level of control over BECs in optical traps in the past decade, which allows for the investigation of complex solid state phenomena and the emerging field of "atomtronics" promises a new generation of nanoscale devices. It is therefore both of fundamental and technological importance to understand the dynamics and transport properties of BECs in optical lattices. We study the outgoing atomic flux of BECs loaded in a one dimensional optical lattice with leaking edges, using a mean field description provided by the discrete nonlinear Schrödinger equation with nonlinearity $\Lambda$. We find that for a nonlinearity larger than a threshold $\Lambda\!>\!\Lambda_{b}$ the dynamics evolves into a population of discrete breathers, preventing the atoms from reaching the leaking boundaries. We show that collisions of other lattice excitations with the outermost discrete breathers result in avalanches, i.e.~jumps of size $J$ in the outgoing atomic flux, which follow a scale-free distribution ${\cal P}(J)\sim1/J^{\alpha}$ characterizing systems at a phase transition. Our results are also relevant in a variety of other contexts, e.g.~coupled nonlinear optical waveguides.In the second part, fractal fluctuations in two different complex systems are studied. Firstly, conductance fluctuations in mesoscopic systems (such as quantum dots) are considered, which are a sensitive probe of electron dynamics and chaotic phenomena. Using the standard map as a paradigmatic model, we show that classical transport through chaotic Hamiltonian systems in general produces fractal conductance curves. This might explain unexpected results of experiments in semiconductor quantum dots where a dependence of the fractal dimension on the coherence length was observed. Furthermore, we predict fractal fluctuations in the conductance of low-dimensional Hamiltonian systems with purely chaotic phase space.Secondly, we investigate temporal (fractal) fluctuations of human music rhythms compared with an exact pattern, e.g.~given by a metronome. We show that the temporal fluctuations in simple as well as in more complex music rhythms are generic in the sense, that Gaussian $1/f^{\beta}$ noise is produced, no matter whether the rhythmic task is accomplished with hands, feet, the voice or a combination of these. Professional audio editing software includes a so-called "humanizing" feature, which adds deviations $\xi_{n}$ to a given audio sequence, where $\xi_{n}$ is white noise. We demonstrate that $1/f$ humanized music that we created is rated significantly better by listeners than conventionally humanized sequences.
Keywords: nonlinear dynamics; mesoscopic physics; bose-einstein condensation; soliton; discrete breather; electronic transport; conductance fluctuations; scale-free; fractal; long-range correlations; music perception; music rhythms
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Mesoskopische Systeme unterliegen substanziellen Fluktuationen, die typischerweise nicht vernachlässigt oder vermieden werden können. Das Verständnis des Ursprungs und der Folgen dieser Fluktuationen (z.B.~für Transportmessungen) ist daher ein fundamentaler Teil der Theorie mesoskopischer Systeme. In dieser Arbeit, welche aus zwei Teilen besteht, werden uns skalenfreie Fluktuationen in verschiedenen komplexen nichtlinearen Systemen begegnen. Der erste Teil handelt von Bose-Einstein Kondensaten (BECs) in undichten optischen Gittern. Experimentatoren haben in der letzten Dekade einen außerordentlichen Grad an Kontrolle über BECs in optischen Fallen erreicht, was die Untersuchung von komplexen Festkörperphänomenen ermöglicht und das aufkommende Feld "Atomtronics" verspricht eine neue Generation von Nanobausteinen. Es ist daher sowohl von fundamentaler als auch von technologischer Bedeutung die Dynamik und die Transporteigenschaften von BECs in optischen Gittern zu verstehen. Wir untersuchen den Fluss von Atomen eines BECs aus einem eindimensionalen optischen Gitter mit undichtem Rand und benutzen eine Molekularfeld-Näherung gegeben durch die diskrete nichtlineare Schrödingergleichung mit Nichtlinearität $\Lambda$. Wir beobachten, dass bei einer Nichtlinearität größer als ein Schwellenwert $\Lambda\!>\!\Lambda_{b}$ die Dynamik zur Entstehung von diskreten Solitonen führt, welche die Atome davon abhalten, den undichten Rand zu erreichen. Wir zeigen, dass Kollisionen von anderen Gitteranregungen mit den äußersten diskreten Solitonen zu Lawinen führen, d.h.~Sprünge der Größe $J$ in dem Fluss von Atomen, die einer skalenfreien Verteilung ${\cal P}(J)\sim1/J^{\alpha}$ folgen, was Systeme an einem Phasenübergang charakterisiert. Unsere Ergebnisse sind auch relevant in diversen anderen Kontexten, z.B.~gekoppelte nichtlineare optische Wellenleiter.Im zweiten Teil befassen wir uns mit fraktalen Fluktuationen in zwei verschiedenen komplexen Systemen. Zunächst werden Leitwertfluktuationen in mesoskopischen Systemen (wie zum Beispiel Quantenpunkte) betrachtet, die eine sensible Sonde für die Dynamik von Elektronen und chaotische Phänomene sind. Mittels der Standardabbildung als paradigmatisches Modell der Dynamik im gemischten Phasenraum wird gezeigt, dass der klassische Transport durch Hamiltonsche Systeme ganz allgemein fraktale Leitwertkurven hervorbringt. Dies könnte unerwartete Ergebnisse von Experimenten mit Halbleiter-Quantenpunkten erklären, bei denen eine Abhängigkeit der fraktalen Dimension von der Kohärenzlänge beobachtet wurde. Darüber hinaus sagen wir fraktale Fluktuationen in dem Leitwert niedrigdimensionaler Hamiltonscher Systeme mit rein chaotischem Phasenraum vorher.Zweitens betrachten wir zeitliche (fraktale) Fluktuationen von menschlichen Musikrhythmen verglichen mit einem exakten Muster, z.B.~gegeben durch ein Metronom. Es wird gezeigt, dass zeitliche Fluktuationen in einfachen und in komplexeren Musikrhythmen generisch sind, in dem Sinne, dass Gaußsches $1/f^{\beta}$ Rauschen produziert wird, ganz gleich ob eine rhythmische Aufgabe mit Händen, Füßen, der Stimme oder einer Kombination dieser ausgeführt wird. Professionelle Audio-Bearbeitungssoftware beinhaltet ein sogenanntes "Humanizing"-Werkzeug, welches Abweichungen $\xi_{n}$ zu einer gegebenen Audiosequenz hinzufügt, wobei $\xi_{n}$ weisses Rauschen ist. Wir zeigen, dass von uns kreierte $1/f$-humanisierte Musik signifikant besser von Zuhörern bewertet wird als konventionell humanisierte Sequenzen.
Schlagwörter: Nichtlineare Dynamik; Mesoskopische Physik; Bose-Einstein Kondensation; Soliton; Breather; Elektronischer Transport; Leitwertfluktuationen; skalenfrei; fraktal; langreichweitige Korrelationen; Musikwahrnehmung; Musikrhythmen