Low Temperature Phase of the m-component Spin Glass

Abstract

Wir untersuchen die Tieftemperaturphase eines Vektor-Spinglases im Limes einer großen Anzahl an Komponenten $m$ der Spins, in dem man annimmt, dass dieses Modell replikasymmetrisch ist. Auf einem Bethe-Gitter, einem Zufallsgraphen mit fester und endlicher Konnektivität, nehmen wir eine selbstkonsistente effektive-Feld-Näherung der Cavity methode um Gleichgewichtszustände des Systems durch die Konfiguration der Cavityfelder zu beschreiben. Diese Felder sind eingeschränkte, thermisch gemittelte Felder der Spins. Wir benutzen einen iterativen Algorithmus um solche Gleichgewichtszustände für endliche Systemgrößen $N$ zu finden und beobachten einen Phasenübergang, der durch einen Ordnungsparameter beschrieben werden kann, der die bevorzugte, mittlere Richtung jedes einzelnen Spins beschreibt, ausgedrückt durch die Konfiguration der Cavityfelder, bzw. der mittleren lokalen Felder. In einzelnen Realisierungen von Bethe-Gittern ist dieser Übergang scharf und wird begleitet von der Verallgemeinerten Bose-Einstein Kondensation, bei der die Cavityfelder, bzw. lokalen Felder der Spins für große $m$ in einen Unterraum des eigentlich zur Verfügung stehenden $m$-dimensionalen Raumes kondensieren. Die Dimension dieses Unterraums, $m_{\rm eff}(T)$, hängt von der Temperatur ab. Sie ist entweder eins oder zwei an der kritischen Temperatur und wächst darunter an. Außerdem wird erwartet, dass diese Dimension bei fester Temperatur mit der Systemgröße $N$ mit einem Exponenten $\mu_m$ skaliert, der von der Konnektivität abhängt. Mitteln wir über viele Realisierungen der Unordnung, so finden wir $\overline{m_{\rm eff}}(T_c)=2$ und $\overline{m_{\rm eff}}(T)\sim N^{\mu_m}$. Darüberhinaus rotieren die Cavityfelder in der Tieftemperaturphase. d.h. es gibt kein Einfrieren in der Zeit wie allgemein erwartet. Im Fall von $m_{\rm eff}(T_c)=2$ rotiert die gesamte Konfiguration an der kritischen Temperatur sogar um denselben Drehwinkel und diesselbe Drehachse wie ein einzelnes Droplet. Außerdem finden wir Replikasymmetriebrechung unterhalb des Limes großer $m$, d.h. für $m_{\rm eff}(T) > m$. Diese Ergebnisse werden durch Ergebnisse aus parallel tempering Monte Carlo Simulationen unterstützt. Replikasymmetriebrechung wird zusätzlich mit einer analytischen Methode im Limes großer Konnektivität untersucht, wobei wir die freie Energie eines replikasymmetrischen Ansatzes und eines Ansatzes mit ein-Schritt-gebrochener Replikasymmetrie, ausgedrückt durch Spin-Spin-Korrelationen, miteinander vergleichen. Im Limes großer $m$ finden wir heraus, dass beide Lösungen für endliche Konnektivitäten ko-existieren und dass das Modell für volle Konnektivität und Korrekturen um den Sattelpunkt für $m\to\infty$ bis zu zweiter Ordnung replikasymmetrisch ist. Im letzten Kapitel berechnen wir die Sample-to-sample Fluktuationen der freien Energie des SK-Modells im Limes großer $m$. Wir leiten eine exakte Verbindung zwischen diesen Fluktuationen und Bond chaos her. Eine Replikarechnung für die sogenannten large deviations und ein Skalenansatz für die small deviations ermöglichen uns Bond chaos zu quantifizieren, indem wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass zwei Systeme mit möglicherweise unterschiedlichen Sätzen von Bonds einen bestimmten Linküberlapp haben. Auf diese Weise finden wir heraus, dass die Sample-to-sample Fluktuationen mit der Anzahl der Spins $N$ mit einem Exponenten $\mu$ zwischen $1/5$ und $3/10$ skalieren.