Superdiffusion in Scale-Free Inhomogeneous Environments
Superdiffusion in Skalenfreien Inhomogenen Medien
by Dirk Brockmann
Date of Examination:2003-07-04
Date of issue:2003-08-21
Advisor:Prof. Dr. Theo Geisel
Referee:Prof. Dr. Theo Geisel
Referee:Prof. Dr. Annette Zippelius
Persistent Address:
http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2684
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Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract
English
We investigate the impact of external potentials on superdiffusive random walks known as Lévy flights and show that even strongly superdiffusive transport is substantially affected by external fields. Unlike ordinary random walks, Lévy flights are surprisingly sensitive to the shape of the potential while their asymptotic behavior ceases to depend on the Lévy index. Our analysis is based on a novel generalization of the Fokker-Planck equation suitable for systems in thermal equilibrium.Thus, the results presented are applicable to the large class of situations in which superdiffusion is caused by topological complexity, such as diffusion on folded polymers and scale-free networks. We investigate periodic potentials as well as random potentials and compare the novel approach to generalized Langevin dynamics. Furthermore, we introduce a model for the generation of human saccadic eye-movements which can be mapped onto the generalized Fokker-Planck equation and show that eye-movements can be understood in terms of a temporal optimization scheme.
Keywords: diffusion; Levy flight; polymers; random walk; stochastic process; superdiffusion; Diffusion; Levy Flight; Polymere; Random Walk; Stochastische Prozesse; Superdiffusion
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Die Auswirkungen externer Felder auf superdiffusive Prozesse bekannt als Lévy Flights werden untersucht. Es wird gezeigt, dass selbst stark superdiffusive Prozesse substantiell durch externe Felder beeinflusst werden. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Diffusionsprozessen sind Lévy Flights besonders empfindlich gegenüber Änderungen in der Form des externen Potenzials, während ihre Asymptotik nicht vom Lévy Index abhängt. Die Analyse basiert auf einer neuen Verallgemeinerung der Fokker-Planck-Gleichung, die geeignet ist Systeme im thermischen Gleichgewicht zu beschreiben.Somit sind die Resultate auf eine große Klasse von Systemen anwendbar, in denen Superdiffusion durch die topologische Komplexität des Systems hervorgerufen wird, wie zum Beispiel Diffusion auf linearen Polymerketten in komplexen Faltungszuständen und skalenfreien Netzwerken. Sowohl periodische als auch Zufallspotenziale werden genauer untersucht. Die Resultate werden verglichen mit denen der verallgemeinerten Langevin-Dynamik. Desweiteren wird ein Modell für die menschliche Augenbewegung eingeführt, das auf die verallgemeinerte Fokker-Planck-Gleichung abgebildet werden kann. Es wird gezeigt, dass menschliche Augenbewegung im Rahmen eines zeitlichen Optimierungsprinzips verstanden werden kann.
