Collective Dynamics in Networks of Pulse-Coupled Oscillators

Abstract

Pulsgekoppelte Oszillatoren stellen eine paradigmatische Klasse dynamischer Systeme dar, die zu Netzwerken miteinander verknüpft sind. Sie modellieren eine Vielfalt natürlicher Systeme, neben anderen zum Beispiel Erdbeben, leuchtende Glühwürmchen, zirpende Grillen ebenso wie Schrittmacherzellen des Herzens und neuronale Netze. In dieser Arbeit betrachten wir zwei wesentliche Themengebiete, die bei der Behandlung pulsgekoppelter Oszillatoren auftreten. Diese sind durch biologische neuronale Netze motiviert: Das erste Themengebiet ist die Präsenz von verzögerter Wechselwirkung, das zweite die Komplexität der Netzwerkstruktur. Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. Nach einer Einführung in das Fachgebiet stellen wir kurz die Modellklasse pulsgekoppelter Oszillatoren vor, die in der dieser Arbeit untersucht wird und diskutieren die Vorteile dieser Modellklasse für analytische und numerische Studien. Wir analysieren dann zunächst Oszillator-Netzwerke mit verzögerter, globaler Pulskopplung. Ein solches Netzwerk stellt das erste Beispiel eines dynamischen Systems dar, das natürlicherweise periodische Orbits aufweist, die sowohl attraktiv als auch instabil sind. Sie sind vor Attraktionsbassins anderer Attraktoren umschlossen, so dass beliebig kleines Rauschen zu einem Umschalten zwischen Attraktoren führt. In einem grossen Parameterbereich werden solche instabilen Attraktoren mit zunehmender Netzwerkgröße die dominate Attraktorform. Als nächstes betrachten wir Netzwerke mit komplexer Struktur. Zunächst präsentieren wir eine exakte Stabilitätsanalyse für synchrone Zustände in Netzwerken mit beliebiger Konnektivität. Im Gegensatz zur konventionellen Stabilitätsanalyse, ist die Stabilität hier durch eine Vielzahl von Operatoren bestimmt. Wir behandeln dieses Multi-Operator-Problem analytisch exakt und zeigen, dass in Netzwerken inhibitorisch gekoppelter Oszillatoren der synchrone Zustand stabil ist, unabhängig von den Parametern und der Netzwerkkonnektivität. Überdies zeigen wir erstmalig theoretisch Evidenz dafür, dass der synchrone Zustand mit regulärer Dynamik mit einem balancierten Zustand mit irregulärer Dynamik in Zufallsnetzwerken mit starker Wechselwirkung koexistiert. Wir schlagen einfache Mechanismen zum Umschalten zwischen diesen qualitativ verschiedenen Zuständen vor. Es tritt die Frage auf, ob diese Ergebnisse auch in einer größeren Klasse von Modellen gültig sind, die durch eine strukturelle Störung aus dem Originalmodell hervorgehen. Schließlich analysieren wir diese Frage detailliert, indem wir zunächst eine Unterklasse einfacherer Modelle identifizieren: In dieser Unterklasse sind alle multiplen Operatoren degeneriert, so dass wir mit einem herkömmlichen Ein-Operator Problem der Stabilität konfrontiert sind. Wir präsentieren numerische Evidenz dafür, dass Zufallsmatrixtheorie nützliche Abschätzungen zum Stabilitätsproblem der Synchronisation auf Zufallsnetzwerken liefert. Diese Abschätzungen legen nahe, dass der für inhibitorische Kopplung stabile synchrone Zustand robust ist gegen strukturelle Störungen der Dynamik des Originalmodells.