Analytische und numerische Untersuchungen bei inversen Transmissionsproblemen zur zeitharmonischen Wellengleichung

Abstract

Streuprobleme beschäftigen sich mit dem Einfluß von Streuobjekten auf einfallende Wellen. Die zeitharmonische Wellengleichung ist hierbei ein mathematisches Modell für die Streuung von akustischen und elektromagnetischen Feldern.Grundsätzlich können zwei Problemarten unterschieden werden. Beim direkten Problem wird aus der Kenntnis der einfallenden Welle, des Streuobjekts und weiterer Problemparameter (z.B. Materialeigenschaften des Streukörpers) das gestreute Feld berechnet. Ziel beim inversen Problem ist die Rekonstruktion des Streuobjekts (und eventuell weiterer Problemparameter) aus der Kenntnis des einfallenden und gestreuten Feldes.Während das direkte Problem eine eindeutige Lösung besitzt, die zudem stetig von den Daten abhängt, liegt diese Situation beim inversen Problem im allgemeinen nicht vor. Dadurch ist es sowohl theoretisch als auch numerisch erheblich schwieriger zu behandeln.Die Modellierung von verschiedenen physikalischen Gegebenheiten führt mathematisch auf unterschiedliche Randwertaufgaben. Transmissionsprobleme dienen hierbei als Beschreibung für durchstrahlbare Streukörper. In diesem Fall verursacht also ein einfallendes Feld sowohl im Außen- als auch im Innenraum der Streuobjekte gestreute Felder.Diese Arbeit hat drei Schwerpunkte. Der erste zentrale Teil behandelt das direkte Transmissionsproblem. Hierbei wird das Problem für sehr allgemeine Gebietskonstellationen betrachtet. Weiterhin werden Algorithmen für die numerische Umsetzung bei mehreren Gebieten angegeben.In einem weiteren Teil wird nachgewiesen, daß die gestreuten Felder analytisch von den Rändern der Streuobjekte und den Problemparametern abhängen. Dies rechtfertigt die Verwendung von Newton-Verfahren zur Rekonstruktion.Der dritte zentrale Teil beschäftigt sich mit der numerischen Umsetzung der theoretischen Ergebnisse beim zweidimensionalen Transmissionsproblem. Sowohl für das direkte als auch für das inverse Problem werden eine Reihe von Beispielen angegeben. Insbesondere werden auch mehrere Streuobjekte zusammen mit weiteren Problemparametern rekonstruiert.