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Analysis of high dimensional repeated measures designs: The one- and two-sample test statistics

Entwicklung von Verfahren zur Analyse von hochdimensionalen Daten mit Messwiederholungen

by Muhammad Rauf Ahmad
Doctoral thesis
Date of Examination:2008-07-07
Date of issue:2008-08-27
Advisor:Prof. Dr. Edgar Brunner
Referee:Prof. Dr. Manfred Denker
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2554

 

 

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Name:ahmad.pdf
Size:783.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

All models are wrong; only some are useful. (G. E. P. Box) In this project, we have analyzed some useful models, based on an approximation introduced by G. E. P. Box; hence, the next few chapters map an odyssey wherein Box and his adage go hand in hand. In a nutshell, one- and two-sample test statistics are developed for the analysis of repeated measures designs when the dimension, d, can be large compared to the sample size, n (d > n).The statistics do not depend on any specific structure of the covariance matrix and can be used in a variety of situations: they are valid for testing any general linear hypothesis, are equally applicable to the design set up of profile analysis and to the usual multivariate structure, are invariant to an orthogonal linear transformation, and are also valid when the data are not high dimensional.The test statistics, a modification of the ANOVA-type statistic (Brunner, 2001), are based on Box s approximation (Box, 1954a), and follow a Â2 f -distribution. The estimators, the building blocks of the test statistics, are composed of quadratic and symmetric bilinear forms, and are proved to be unbiased, L2-consistent and uniformly bounded in dimension, d. This last property of estimators helps us in the asymptotic derivations in that we need not let both n and d approach infinity. We let n 1, while keep d fixed, such that the approximation of the distribution of the test statistic to the Â2 distribution remains accurate when d > n, or even d >> n.The performance of the statistics is evaluated through simulations and it is shown that, for n as small as 10 or 20, the approximation is quite accurate, whatever be d. The statistic is also applied to a number of real data sets for numerical illustrations.
Keywords: high dimensional data; bilinear forms; Box approximation

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All models are wrong; only some are useful. (G. E. P. Box) In dieser Arbeit haben wir Modelle analysiert, die auf der Approximation von Box basieren. Die nachfolgenden Kapitel zeichnen eine Reise auf, in der Box und sein obiger Ausspruch Hand in Hand gehen. Kurz gesagt, werden in dieser Arbeit Ein- und Zweistichproben Teststatistiken entwickelt für die Analyse von Designs mit Messwiederholungen fr den Fall, dass die Dimension d gross ist im Vergleich zur Stichprobengrösse n (d > n).Die Statistiken benötigen keine spezielle Struktur der Kovarianzmatrix und können in einer Vielzahl von Situationen eingesetzt werden: Sie können benutzt werden, um eine beliebige lineare Hypothese zu testen. Sie sind ebenso anwendbar, um Profilanalysen durchzufhren und anwendbar für multivariate Designs. Sie sind invariant unter orthogonalen linearen Transformationen und behalten ihre Gültigkeit, wenn die Daten nicht hochdimensional sind.Die Teststatistiken stellen eine Modifikation der ANOVA-artigen Statistik dar (Brunner, 2001), basieren auf der Box Approximation (Box, 1954a) und folgen einer 2f-Verteilung. Die Schätzer, auf denn die Teststatistiken basieren, bestehen aus quadratischen, symmetrischen Bilinearformen, und wir beweisen, dass sie unverzerrt, L2-konsistent und gleichmäßig beschränkt in der Dimension d sind. Diese letzte Eigenschaft der Schätzer hilft bei den asymptotischen Herleitungen, da n und d nicht beide gegen unendlich tendieren mssen. Wir lassen n 1 bei beliebigem, festem d und zeigen, dass die Näherung der Verteilung der Teststatistik durch eine 2-Verteilung ihre Gültigkeit behält, wenn d > n, oder sogar d >> n ist.Die Leistungsfähigkeit der Statistiken wird durch Simulationen untersucht und wir zeigen dass, selbst wenn n nur 10 oder 20 ist, die Näherung sehr genau ist, unabhängig von dem Wert von d. Die Statistik wird auch auf eine Reihe von realen Datensätzen angewandt.
Schlagwörter: hochdimensionale daten; bilinearformen; Box approximation
 

Statistik

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