Analysis of high dimensional repeated measures designs: The one- and two-sample test statistics

Abstract

All models are wrong; only some are useful. (G. E. P. Box) In dieser Arbeit haben wir Modelle analysiert, die auf der Approximation von Box basieren. Die nachfolgenden Kapitel zeichnen eine Reise auf, in der Box und sein obiger Ausspruch Hand in Hand gehen. Kurz gesagt, werden in dieser Arbeit Ein- und Zweistichproben Teststatistiken entwickelt für die Analyse von Designs mit Messwiederholungen fr den Fall, dass die Dimension d gross ist im Vergleich zur Stichprobengrösse n (d > n).Die Statistiken benötigen keine spezielle Struktur der Kovarianzmatrix und können in einer Vielzahl von Situationen eingesetzt werden: Sie können benutzt werden, um eine beliebige lineare Hypothese zu testen. Sie sind ebenso anwendbar, um Profilanalysen durchzufhren und anwendbar für multivariate Designs. Sie sind invariant unter orthogonalen linearen Transformationen und behalten ihre Gültigkeit, wenn die Daten nicht hochdimensional sind.Die Teststatistiken stellen eine Modifikation der ANOVA-artigen Statistik dar (Brunner, 2001), basieren auf der Box Approximation (Box, 1954a) und folgen einer 2f-Verteilung. Die Schätzer, auf denn die Teststatistiken basieren, bestehen aus quadratischen, symmetrischen Bilinearformen, und wir beweisen, dass sie unverzerrt, L2-konsistent und gleichmäßig beschränkt in der Dimension d sind. Diese letzte Eigenschaft der Schätzer hilft bei den asymptotischen Herleitungen, da n und d nicht beide gegen unendlich tendieren mssen. Wir lassen n 1 bei beliebigem, festem d und zeigen, dass die Näherung der Verteilung der Teststatistik durch eine 2-Verteilung ihre Gültigkeit behält, wenn d > n, oder sogar d >> n ist.Die Leistungsfähigkeit der Statistiken wird durch Simulationen untersucht und wir zeigen dass, selbst wenn n nur 10 oder 20 ist, die Näherung sehr genau ist, unabhängig von dem Wert von d. Die Statistik wird auch auf eine Reihe von realen Datensätzen angewandt.