Statistische Multiresolutions-Schätzer in linearen inversen Problemen - Grundlagen und algorithmische Aspekte
Statistical Multiresolution Estimatiors in Linear Inverse Problems - Foundations and Algorithmic Aspects
Philipp Marnitz
Doctoral thesis
Date of Examination:
2010-10-27
Date of issue:
2010-12-15
Advisor:
Munk, Axel Prof. Dr.
Referee:
Munk, Axel Prof. Dr.
Referee:
Luke, Russell Prof. Dr.
Referee:
Hohage, Thorsten Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B6A2-8
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marnitz.pdf
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2,5 MB
Format:
PDF
Description:
Dissertation
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Abstract
English
Applications of statistical multiresolution techniques in regression problems have attracted a lot of attention recently. The main reason for this is that the resulting statistical multiresolution (SMR) estimators are locally and multiscale adaptive, meaning that they automatically adjust to the smoothness of the true object on different scales and in different locations. In this dissertation, we introduce a novel algorithmic framework to compute SMR-estimators in practice.On a theoretical level, we take a rigorous and general approach to SMR-estimators by defining them as the solution of a constrained optimization problem. We present a derivation of this approach and show a consistency result. The actual computation is carried out via an Augmented Lagrangian method by means of which the problem is decomposed into an unconstrained minimization problem and a large-scale projection problem. The latter is tackled by Dykstra's algorithm, a method which computes the projection onto the intersection of closed and convex sets by successively projecting onto single sets. These individual projections can be stated explicitly in our context which turns Dykstra's algorithm into a particularly fast and hence appealing solution method.As a result, our methodology allows for treatment of comparatively large datasets. Especially two-dimensional datasets can be processed while most publications on the subject so far were restricted to a one-dimensional setting. When applied to regression problems, our method gives better results than state of the art methods in the field of SMR-estimation. Furthermore, our algorithm is the first that allows for computation of SMR-estimators for (possibly ill-posed) inverse problems. It can also be combined with a variety of penalty functions.We demonstrate the performance of SMR-estimators computed by our algorithmic framework by presenting numerical examples. Apart from processing synthetic test objects to assess the quality of the estimators in different settings, we also give a practical application from biophotonic imaging in which a large-scale deconvolution problem needs to be solved.
Keywords: Statistical Inverse Problems; Multi-Resolution; Extreme-Value Statistics; Augmented Lagrangian Method; Dykstra's Algorithm
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In jüngerer Vergangenheit haben statistische
Multiresolutionstechniken viel Aufmerksamkeit erregt.
Dies liegt vor allem daran, dass die hieraus
resultierenden statistischen Multiresolutionsschätzer
(SMR) lokal- und multiskalenadaptiv sind, das heißt,
dass sie sich automatisch der Glattheit des wahren
Objects lokal und auf verschiedenen Skalen anpassen. In
dieser Dissertation wird eine neuartige Methodik
eingeführt, um SMR-Schätzer in der Praxis zu
berechnen.Hierzu werden SMR-Schätzer rigoros als Lösung eines
Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen definiert.
Neben einer Herleitung dieses Ansatzes wird auch ein
Konsistenzresultat erbracht. Die eigentliche Berechnung
wird dann über eine Augmented-Lagrangian-Methode
durchgeführt, mittels derer das Problem in ein
unrestringiertes Minimierungsproblem und ein
hochskaliges Projektionsproblem zerlegt wird. Letzteres
wird durch den Dykstra-Algorithmius attackiert; eine
Methode, welche die Projektion auf den Schnitt von
abgeschlossenen und konvexen Mengen berechnet, indem
sie sukzessive auf die einzelnen Mengen projiziert.
Diese individuellen Projektionen können im hier
vorliegenden Kontext explizit angegeben werden, wodurch
der Dykstra-Algorithmus zu einer besonders schnellen
und somit attraktiven Lösungsmethode wird.Hierdurch können mit unserer Methodik auch
vergleichsweise große Datensätze behandelt werden.
Insbesondere können zweidimensionale Datensätze
bearbeitet werden, während die meisten Publikationen in
diesem Themenbereich bislang auf ein eindimensionales
Rahmenwerk beschränkt waren. Auf Regressionsprobleme
angewendet liefert unsere Methode bessere Ergebnisse
als andere aktuelle Methoden im Bereich der
SMR-Schätzung. Darüber hinaus ist unser Algorithmus der
erste, welcher die Berechnung von SMR-Schätzern in
(möglicherweise schlecht-gestellten) inversen Problemen
ermöglicht und kann mit einer Vielzahl von
Straffunktionalen kombiniert werden.
Schlagwörter: Statistische inverse Probleme; Multiresolution; Extremwertstatistiken; Augmented-Lagrangian-Methode; Dykstra-Algorithmus
