Statistische Multiresolutions-Schätzer in linearen inversen Problemen - Grundlagen und algorithmische Aspekte

Statistical Multiresolution Estimatiors in Linear Inverse Problems - Foundations and Algorithmic Aspects

by Philipp Marnitz
Doctoral thesis
Date of Examination:2010-10-27
Date of issue:2010-12-15
Advisor:Prof. Dr. Axel Munk
Referee:Prof. Dr. Axel Munk
Referee:Prof. Dr. Russell Luke
Referee:Prof. Dr. Thorsten Hohage
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2591

 

 

Files in this item

Name:marnitz.pdf
Size:2.52Mb
Format:PDF
Description:Dissertation

The following license files are associated with this item:

Abstract

English

Applications of statistical multiresolution techniques in regression problems have attracted a lot of attention recently. The main reason for this is that the resulting statistical multiresolution (SMR) estimators are locally and multiscale adaptive, meaning that they automatically adjust to the smoothness of the true object on different scales and in different locations. In this dissertation, we introduce a novel algorithmic framework to compute SMR-estimators in practice.On a theoretical level, we take a rigorous and general approach to SMR-estimators by defining them as the solution of a constrained optimization problem. We present a derivation of this approach and show a consistency result. The actual computation is carried out via an Augmented Lagrangian method by means of which the problem is decomposed into an unconstrained minimization problem and a large-scale projection problem. The latter is tackled by Dykstra's algorithm, a method which computes the projection onto the intersection of closed and convex sets by successively projecting onto single sets. These individual projections can be stated explicitly in our context which turns Dykstra's algorithm into a particularly fast and hence appealing solution method.As a result, our methodology allows for treatment of comparatively large datasets. Especially two-dimensional datasets can be processed while most publications on the subject so far were restricted to a one-dimensional setting. When applied to regression problems, our method gives better results than state of the art methods in the field of SMR-estimation. Furthermore, our algorithm is the first that allows for computation of SMR-estimators for (possibly ill-posed) inverse problems. It can also be combined with a variety of penalty functions.We demonstrate the performance of SMR-estimators computed by our algorithmic framework by presenting numerical examples. Apart from processing synthetic test objects to assess the quality of the estimators in different settings, we also give a practical application from biophotonic imaging in which a large-scale deconvolution problem needs to be solved.
Keywords: Statistical Inverse Problems; Multi-Resolution; Extreme-Value Statistics; Augmented Lagrangian Method; Dykstra's Algorithm

Other Languages

In jüngerer Vergangenheit haben statistische Multiresolutionstechniken viel Aufmerksamkeit erregt. Dies liegt vor allem daran, dass die hieraus resultierenden statistischen Multiresolutionsschätzer (SMR) lokal- und multiskalenadaptiv sind, das heißt, dass sie sich automatisch der Glattheit des wahren Objects lokal und auf verschiedenen Skalen anpassen. In dieser Dissertation wird eine neuartige Methodik eingeführt, um SMR-Schätzer in der Praxis zu berechnen.Hierzu werden SMR-Schätzer rigoros als Lösung eines Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen definiert. Neben einer Herleitung dieses Ansatzes wird auch ein Konsistenzresultat erbracht. Die eigentliche Berechnung wird dann über eine Augmented-Lagrangian-Methode durchgeführt, mittels derer das Problem in ein unrestringiertes Minimierungsproblem und ein hochskaliges Projektionsproblem zerlegt wird. Letzteres wird durch den Dykstra-Algorithmius attackiert; eine Methode, welche die Projektion auf den Schnitt von abgeschlossenen und konvexen Mengen berechnet, indem sie sukzessive auf die einzelnen Mengen projiziert. Diese individuellen Projektionen können im hier vorliegenden Kontext explizit angegeben werden, wodurch der Dykstra-Algorithmus zu einer besonders schnellen und somit attraktiven Lösungsmethode wird.Hierdurch können mit unserer Methodik auch vergleichsweise große Datensätze behandelt werden. Insbesondere können zweidimensionale Datensätze bearbeitet werden, während die meisten Publikationen in diesem Themenbereich bislang auf ein eindimensionales Rahmenwerk beschränkt waren. Auf Regressionsprobleme angewendet liefert unsere Methode bessere Ergebnisse als andere aktuelle Methoden im Bereich der SMR-Schätzung. Darüber hinaus ist unser Algorithmus der erste, welcher die Berechnung von SMR-Schätzern in (möglicherweise schlecht-gestellten) inversen Problemen ermöglicht und kann mit einer Vielzahl von Straffunktionalen kombiniert werden.
Schlagwörter: Statistische inverse Probleme; Multiresolution; Extremwertstatistiken; Augmented-Lagrangian-Methode; Dykstra-Algorithmus
 
Statistik