Statistische Multiresolutions-Schätzer in linearen inversen Problemen - Grundlagen und algorithmische Aspekte

Marnitz, Philipp

dc.contributor.advisor	Munk, Axel Prof. Dr.	de
dc.contributor.author	Marnitz, Philipp	de
dc.date.accessioned	2010-12-15T12:11:41Z	de
dc.date.accessioned	2013-01-18T13:25:06Z	de
dc.date.available	2013-01-30T23:51:07Z	de
dc.date.issued	2010-12-15	de
dc.identifier.uri	http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B6A2-8	de
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2591
dc.description.abstract	In jüngerer Vergangenheit haben statistische Multiresolutionstechniken viel Aufmerksamkeit erregt. Dies liegt vor allem daran, dass die hieraus resultierenden statistischen Multiresolutionsschätzer (SMR) lokal- und multiskalenadaptiv sind, das heißt, dass sie sich automatisch der Glattheit des wahren Objects lokal und auf verschiedenen Skalen anpassen. In dieser Dissertation wird eine neuartige Methodik eingeführt, um SMR-Schätzer in der Praxis zu berechnen.Hierzu werden SMR-Schätzer rigoros als Lösung eines Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen definiert. Neben einer Herleitung dieses Ansatzes wird auch ein Konsistenzresultat erbracht. Die eigentliche Berechnung wird dann über eine Augmented-Lagrangian-Methode durchgeführt, mittels derer das Problem in ein unrestringiertes Minimierungsproblem und ein hochskaliges Projektionsproblem zerlegt wird. Letzteres wird durch den Dykstra-Algorithmius attackiert; eine Methode, welche die Projektion auf den Schnitt von abgeschlossenen und konvexen Mengen berechnet, indem sie sukzessive auf die einzelnen Mengen projiziert. Diese individuellen Projektionen können im hier vorliegenden Kontext explizit angegeben werden, wodurch der Dykstra-Algorithmus zu einer besonders schnellen und somit attraktiven Lösungsmethode wird.Hierdurch können mit unserer Methodik auch vergleichsweise große Datensätze behandelt werden. Insbesondere können zweidimensionale Datensätze bearbeitet werden, während die meisten Publikationen in diesem Themenbereich bislang auf ein eindimensionales Rahmenwerk beschränkt waren. Auf Regressionsprobleme angewendet liefert unsere Methode bessere Ergebnisse als andere aktuelle Methoden im Bereich der SMR-Schätzung. Darüber hinaus ist unser Algorithmus der erste, welcher die Berechnung von SMR-Schätzern in (möglicherweise schlecht-gestellten) inversen Problemen ermöglicht und kann mit einer Vielzahl von Straffunktionalen kombiniert werden.	de
dc.format.mimetype	application/pdf	de
dc.language.iso	eng	de
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/	de
dc.title	Statistische Multiresolutions-Schätzer in linearen inversen Problemen - Grundlagen und algorithmische Aspekte	de
dc.type	doctoralThesis	de
dc.title.translated	Statistical Multiresolution Estimatiors in Linear Inverse Problems - Foundations and Algorithmic Aspects	de
dc.contributor.referee	Munk, Axel Prof. Dr.	de
dc.date.examination	2010-10-27	de
dc.description.abstracteng	Applications of statistical multiresolution techniques in regression problems have attracted a lot of attention recently. The main reason for this is that the resulting statistical multiresolution (SMR) estimators are locally and multiscale adaptive, meaning that they automatically adjust to the smoothness of the true object on different scales and in different locations. In this dissertation, we introduce a novel algorithmic framework to compute SMR-estimators in practice.On a theoretical level, we take a rigorous and general approach to SMR-estimators by defining them as the solution of a constrained optimization problem. We present a derivation of this approach and show a consistency result. The actual computation is carried out via an Augmented Lagrangian method by means of which the problem is decomposed into an unconstrained minimization problem and a large-scale projection problem. The latter is tackled by Dykstra's algorithm, a method which computes the projection onto the intersection of closed and convex sets by successively projecting onto single sets. These individual projections can be stated explicitly in our context which turns Dykstra's algorithm into a particularly fast and hence appealing solution method.As a result, our methodology allows for treatment of comparatively large datasets. Especially two-dimensional datasets can be processed while most publications on the subject so far were restricted to a one-dimensional setting. When applied to regression problems, our method gives better results than state of the art methods in the field of SMR-estimation. Furthermore, our algorithm is the first that allows for computation of SMR-estimators for (possibly ill-posed) inverse problems. It can also be combined with a variety of penalty functions.We demonstrate the performance of SMR-estimators computed by our algorithmic framework by presenting numerical examples. Apart from processing synthetic test objects to assess the quality of the estimators in different settings, we also give a practical application from biophotonic imaging in which a large-scale deconvolution problem needs to be solved.	de
dc.contributor.coReferee	Luke, Russell Prof. Dr.	de
dc.contributor.thirdReferee	Hohage, Thorsten Prof. Dr.	de
dc.subject.ger	Statistische inverse Probleme	de
dc.subject.ger	Multiresolution	de
dc.subject.ger	Extremwertstatistiken	de
dc.subject.ger	Augmented-Lagrangian-Methode	de
dc.subject.ger	Dykstra-Algorithmus	de
dc.subject.eng	Statistical Inverse Problems	de
dc.subject.eng	Multi-Resolution	de
dc.subject.eng	Extreme-Value Statistics	de
dc.subject.eng	Augmented Lagrangian Method	de
dc.subject.eng	Dykstra's Algorithm	de
dc.identifier.urn	urn:nbn:de:gbv:7-webdoc-2749-8	de
dc.identifier.purl	webdoc-2749	de
dc.affiliation.institute	Fakultät für Mathematik und Informatik	de
dc.identifier.ppn	66158447X	de

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Fakultät für Mathematik und Informatik (inkl. GAUSS) [543]

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