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Higher Lefschetz invariants for foliated manifolds

Höhere Lefschetz-Invarianten für geblätterte Mannigfaltigkeiten

by Alessandro Fermi
Doctoral thesis
Date of Examination:2012-03-12
Date of issue:2012-05-22
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Ralf Meyer
Referee:Prof. Dr. Paolo Piazza
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2579

 

 

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Abstract

English

Let $(M, F)$ be a compact foliated manifold. Suppose that a compact Lie group $Γ$ acts on $(M, F)$ by diffeomorphisms of Mthat map each leaf onto itself. We call such a structure a foliated $Γ$ -manifold and denote it by $(M, F, Γ )$. For a foliated $Γ$ -manifold we want to define higher Lefschetz invariants, i.e. basic invariants of the foliation and the group action that suitably generalize the classical Lefschetz numbers attached to a closed $Γ$ -manifold. In order to define such numbers, we construct for any foliated $Γ$ -manifold $M, F, Γ )$ a new groupoid $H(F, Γ )$ over Mcalled the twisted holonomy groupoid. We show that this groupoid is a foliation Lie groupoid and contains as open subgroupoid the holonomy groupoid $H(F)$ of the foliation. Moreover, we prove that $H(F, Γ )$ carries a $Γ$ -action given by inner automorphisms that extends the natural action of $Γ$ on $H(F)$. Taking advantage of the particular form of the action on $H(F, Γ )$ we explicitly construct equivariant cyclic cocycles on the foliated $Γ$ -manifold. In particular we define an equivariant extension of the Godbillon-Vey cyclic cocycle, which represents analitically one of the secondary characteristic classes of the foliation. Using these equivariant cocycles and the pairing theory between them and equivariant $K-$theory, we are able to define higher Lefschetz numbers for $(M, F, Γ )$ as the pairing between the equivariant index of a $Γ$ -invariant elliptic operator and one of the constructed equivariant cyclic cocycles. Finally, we study some basic properties of these Lefschetz numbers and give interesting examples.
Keywords: Foliations; Lie groupoids; equivariant K-theorie and equivariant cyclic cocycles; secondary characteristic classes; higher Lefschetz-type invariants.

Other Languages

Sei $(M, F)$ eine geblätterte Mannigfaltigkeit. Wir nehmen an, dass eine kompakte Lie Gruppe $Γ$ auf $(M, F)$ wirkt und die Wirkung ist durch Diffeomorphismen von $M$, die jedes Blatt auf sich selbst abbilden. Ein solches Tripel $(M, F, Γ)$ wird eine geblätterte Γ Mannigfaltigkeit gennant. Zu einer geblätterten Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$ wollen wir höhere Lefschetz-Invarianten zuordnen, d.h. Invarianten zur Blätterung und der $Γ$ -Wirkung, die die klassischen zu einer abgeschlossenen $Γ$ -Mannigfaltigkeit assoziierten Lefschetz-Zahlen verallgemeinern. Um diese Zahlen zu definieren, konstruieren wir ein neues Groupoid für eine geblätterte Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$. Dieses Groupoid ist das getwistete Holonomie-Groupoid gennant und wird mit $H(F, Γ )$ bezeichnet. Wir beweisen, dass $H(F, Γ )$ ein sogennantes Lie Blätterungsgroupoid ist und das Holonomie-Groupoid H(F) der Blätterung als offenes Teilgroupoid enthält. Ausserdem trägt $H(F, Γ )$ eine Wirkung von $Γ$ durch innere Automorphismen. Wir zeigen, dass die $Γ$ -Wirkung auf $H(F, Γ )$ erweitert die kanonische $Γ$ -Wirkung auf $H(F)$. Da die Wirkung auf $H(F, Γ )$ inner ist, können wir explizit äquivariante zyklische Kozyklen auf $(M, F, Γ )$ konstruieren. Insbesondere definieren wir eine äquivariante Erweiterung vom Godbillon-Vey zyklischen Kozyklus, der einer der sekundären charakteristischen Klassen einer Blätterung darstellt. Nun können die höheren Lefschetz-Zahlen definiert werden als die Paarung vom äquivarianten Index eines $Γ$ -invarianten elliptischen Operators mit einem der oben gennanten äquivarianten Kozyklen. Als letztes untersuchen wir grundlegende Eigenschaften dieser Lefschetz-Zahlen und geben einige interessante Beispiele.
Schlagwörter: Blätterungen; Lie Groupoide; äquivariante zyklische Kozyklen und K-theorie; sekundäre charakteristische Klassen; höhere Lefschetz-Invarianten.
 

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