Higher Lefschetz invariants for foliated manifolds

Abstract

Sei $(M, F)$ eine geblätterte Mannigfaltigkeit. Wir nehmen an, dass eine kompakte Lie Gruppe $Γ$ auf $(M, F)$ wirkt und die Wirkung ist durch Diffeomorphismen von $M$, die jedes Blatt auf sich selbst abbilden. Ein solches Tripel $(M, F, Γ)$ wird eine geblätterte Γ Mannigfaltigkeit gennant. Zu einer geblätterten Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$ wollen wir höhere Lefschetz-Invarianten zuordnen, d.h. Invarianten zur Blätterung und der $Γ$ -Wirkung, die die klassischen zu einer abgeschlossenen $Γ$ -Mannigfaltigkeit assoziierten Lefschetz-Zahlen verallgemeinern. Um diese Zahlen zu definieren, konstruieren wir ein neues Groupoid für eine geblätterte Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$. Dieses Groupoid ist das getwistete Holonomie-Groupoid gennant und wird mit $H(F, Γ )$ bezeichnet. Wir beweisen, dass $H(F, Γ )$ ein sogennantes Lie Blätterungsgroupoid ist und das Holonomie-Groupoid H(F) der Blätterung als offenes Teilgroupoid enthält. Ausserdem trägt $H(F, Γ )$ eine Wirkung von $Γ$ durch innere Automorphismen. Wir zeigen, dass die $Γ$ -Wirkung auf $H(F, Γ )$ erweitert die kanonische $Γ$ -Wirkung auf $H(F)$. Da die Wirkung auf $H(F, Γ )$ inner ist, können wir explizit äquivariante zyklische Kozyklen auf $(M, F, Γ )$ konstruieren. Insbesondere definieren wir eine äquivariante Erweiterung vom Godbillon-Vey zyklischen Kozyklus, der einer der sekundären charakteristischen Klassen einer Blätterung darstellt. Nun können die höheren Lefschetz-Zahlen definiert werden als die Paarung vom äquivarianten Index eines $Γ$ -invarianten elliptischen Operators mit einem der oben gennanten äquivarianten Kozyklen. Als letztes untersuchen wir grundlegende Eigenschaften dieser Lefschetz-Zahlen und geben einige interessante Beispiele.