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Higher Lefschetz invariants for foliated manifolds

dc.contributor.advisorSchick, Thomas Prof. Dr.de
dc.contributor.authorFermi, Alessandrode
dc.date.accessioned2012-05-22T15:50:13Zde
dc.date.accessioned2013-01-18T13:24:40Zde
dc.date.available2013-01-30T23:50:56Zde
dc.date.issued2012-05-22de
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F062-Dde
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-2579
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-2579
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-2579
dc.description.abstractSei $(M, F)$ eine geblätterte Mannigfaltigkeit. Wir nehmen an, dass eine kompakte Lie Gruppe $Γ$ auf $(M, F)$ wirkt und die Wirkung ist durch Diffeomorphismen von $M$, die jedes Blatt auf sich selbst abbilden. Ein solches Tripel $(M, F, Γ)$ wird eine geblätterte Γ Mannigfaltigkeit gennant. Zu einer geblätterten Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$ wollen wir höhere Lefschetz-Invarianten zuordnen, d.h. Invarianten zur Blätterung und der $Γ$ -Wirkung, die die klassischen zu einer abgeschlossenen $Γ$ -Mannigfaltigkeit assoziierten Lefschetz-Zahlen verallgemeinern. Um diese Zahlen zu definieren, konstruieren wir ein neues Groupoid für eine geblätterte Mannigfaltigkeit $(M, F, Γ )$. Dieses Groupoid ist das getwistete Holonomie-Groupoid gennant und wird mit $H(F, Γ )$ bezeichnet. Wir beweisen, dass $H(F, Γ )$ ein sogennantes Lie Blätterungsgroupoid ist und das Holonomie-Groupoid H(F) der Blätterung als offenes Teilgroupoid enthält. Ausserdem trägt $H(F, Γ )$ eine Wirkung von $Γ$ durch innere Automorphismen. Wir zeigen, dass die $Γ$ -Wirkung auf $H(F, Γ )$ erweitert die kanonische $Γ$ -Wirkung auf $H(F)$. Da die Wirkung auf $H(F, Γ )$ inner ist, können wir explizit äquivariante zyklische Kozyklen auf $(M, F, Γ )$ konstruieren. Insbesondere definieren wir eine äquivariante Erweiterung vom Godbillon-Vey zyklischen Kozyklus, der einer der sekundären charakteristischen Klassen einer Blätterung darstellt. Nun können die höheren Lefschetz-Zahlen definiert werden als die Paarung vom äquivarianten Index eines $Γ$ -invarianten elliptischen Operators mit einem der oben gennanten äquivarianten Kozyklen. Als letztes untersuchen wir grundlegende Eigenschaften dieser Lefschetz-Zahlen und geben einige interessante Beispiele.de
dc.format.mimetypeapplication/pdfde
dc.language.isoengde
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de
dc.titleHigher Lefschetz invariants for foliated manifoldsde
dc.typedoctoralThesisde
dc.title.translatedHöhere Lefschetz-Invarianten für geblätterte Mannigfaltigkeitende
dc.contributor.refereeSchick, Thomas Prof. Dr.de
dc.date.examination2012-03-12de
dc.subject.dnb510 Mathematikde
dc.subject.gokEFDC 120de
dc.subject.gokEEHA 530de
dc.subject.gokEFHR 300de
dc.subject.gokEFHR 320de
dc.subject.gokEFIH 050de
dc.subject.gokEFIH 050de
dc.description.abstractengLet $(M, F)$ be a compact foliated manifold. Suppose that a compact Lie group $Γ$ acts on $(M, F)$ by diffeomorphisms of Mthat map each leaf onto itself. We call such a structure a foliated $Γ$ -manifold and denote it by $(M, F, Γ )$. For a foliated $Γ$ -manifold we want to define higher Lefschetz invariants, i.e. basic invariants of the foliation and the group action that suitably generalize the classical Lefschetz numbers attached to a closed $Γ$ -manifold. In order to define such numbers, we construct for any foliated $Γ$ -manifold $M, F, Γ )$ a new groupoid $H(F, Γ )$ over Mcalled the twisted holonomy groupoid. We show that this groupoid is a foliation Lie groupoid and contains as open subgroupoid the holonomy groupoid $H(F)$ of the foliation. Moreover, we prove that $H(F, Γ )$ carries a $Γ$ -action given by inner automorphisms that extends the natural action of $Γ$ on $H(F)$. Taking advantage of the particular form of the action on $H(F, Γ )$ we explicitly construct equivariant cyclic cocycles on the foliated $Γ$ -manifold. In particular we define an equivariant extension of the Godbillon-Vey cyclic cocycle, which represents analitically one of the secondary characteristic classes of the foliation. Using these equivariant cocycles and the pairing theory between them and equivariant $K-$theory, we are able to define higher Lefschetz numbers for $(M, F, Γ )$ as the pairing between the equivariant index of a $Γ$ -invariant elliptic operator and one of the constructed equivariant cyclic cocycles. Finally, we study some basic properties of these Lefschetz numbers and give interesting examples.de
dc.contributor.coRefereeMeyer, Ralf Prof. Dr.de
dc.contributor.thirdRefereePiazza, Paolo Prof. Dr.de
dc.subject.topicMathematics and Computer Sciencede
dc.subject.gerBlätterungende
dc.subject.gerLie Groupoidede
dc.subject.geräquivariante zyklische Kozyklen und K-theoriede
dc.subject.gersekundäre charakteristische Klassende
dc.subject.gerhöhere Lefschetz-Invarianten.de
dc.subject.engFoliationsde
dc.subject.engLie groupoidsde
dc.subject.engequivariant K-theorie and equivariant cyclic cocyclesde
dc.subject.engsecondary characteristic classesde
dc.subject.enghigher Lefschetz-type invariants.de
dc.subject.bk31.55de
dc.subject.bk31.52de
dc.subject.bk31.46de
dc.identifier.urnurn:nbn:de:gbv:7-webdoc-3515-0de
dc.identifier.purlwebdoc-3515de
dc.affiliation.instituteMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultätende
dc.identifier.ppn726540757de


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